Bonjour à tous,
Je cherche à résoudre l'exercice suivant :
Soit G un groupe agissant proprement, librement et par homéomorphismes sur une variété topologique V. On fixe et on note l'image de dans par l'application quotient .
1) Soit un lacet de . Expliquer pourquoi il existe un unique chemin de V tel que et .
On note alors l'unique élément de tel que .
2) Montrer que l'application , est bien définie et que c'est un morphisme de groupes.
3) On suppose V connexe par arcs/ Montrer que est surjectif.
4) On suppose V simplement connexe. Montrer que est un isomorphisme.
Voici ce que j'ai fait :
1) Comme G agit proprement, librement et par homéos sur V, est un revêtement. Il existe donc un unique relèvement de tel que (théorème vu en cours).
2) Pour montrer que c'est bien défini, je prends deux lacets de V/G et basés en homotopes à extrémités fixées (via une homotopie ).
D'après un théorème vu en cours, pour tout relèvement de , il existe qui relève et telle que .
est un chemin de qui relève et (puisque relève qui est une homotopie à extrémités fixées).
De même, .
Mais pour montrer que c'est un morphisme de groupes, je bloque ...
Si et sont deux lacets de basés en , je prends deux relèvements et tels que et .
(chemin qui parcourt d'abord puis ) relève , et . Et là, problème... vu qu'on aimerait avoir .
Alors, je me suis demandé si'il ne fallait pas plutôt prendre tel que mais, dans ce cas, comment connecter les deux relèvements ???
Merci d'avance pour votre aide !