Plopouille !
On considère un groupe fini d'ordre pair. On souhaite montrer qu'il existe un élément de ce groupe, différent de son élément neutre , tq .
Pour cela, on a donné comme indication de montrer d'abord que le cardinal de est pair.
Si est vide c'est évident, donc on le suppose non vide. Bien évidemment, chaque élément de a son inverse dans . Cela suffirait intuitivement pour en déduire la parité du cardinal de , mais je voulais quelque chose de plus rigoureux, et la meilleure que j'ai pu trouvé c'est celle-ci et je voudrais savoir si y a pas plus simple car j'ai l'impression que c'est un peu long :hum: :
On note le cardinal de et on a bien sûr . On numérote les éléments de comme suit : .
On construit une famille de parties telle que :
Petit résultat qui sera utilisé dans la suite : Soit . Si alors , car sinon, par construction, on aurait et en particulier , ce qui est absurde.
On suppose maintenant qu'il existe deux entiers de tq , et .
On a , donc et en particulier . Donc et par construction . Ce qui est absurde.
Si on note le cardinal de et si on numérote ses éléments comme suit , alors ce qu'on a montré c'est que . Ainsi, tout élément de a son inverse ailleurs, c'est-à-dire dans .
L'ensemble des inverses des éléments de étant inclus dans , et de même cardinal que , on a
Si , alors il existe un élément de qui n'est l'inverse d'aucun élément de , c'est-à-dire dont l'inverse est aussi dans .
On a , donc en particulier , et par construction , et donc , ce qui est absurde et donc , d'où , et ceci achève notre longue preuve :hein: .
( j'ai le sentiment que je me ferais, évidemment, détruire par une preuve de deux ou trois lignes )