Groupe des quaternions

[legeniedesalpages]

Bonsoir,

je ne comprends pas, le prof nous dit qu'il n'y a pas d'éléments d'ordre 4 dans les groupe des quaternions ,

Pourtant si je note:



je trouve









ce qui veut dire que est d'ordre 4, non?

merci pour votre aide

[legeniedesalpages]

Je ne comprends pas, l'article de http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_de_quaternions dit qu'il y a trois éléments d'ordre 4 dans ce groupe.

Plus exactement le prof dit que le groupe diédral et le groupe quaternionique sont tous les deux d'ordre 8, et ne sont pas isomorphes car ne possède pas d'éléments d'ordre 4.

[Dyo]

Salut,

je confirme: il y a 3 éléments d'ordre 4 (i,j et k) et les sous-groupes qu'ils
engendrent chacun sont normaux (d'indice 2 dans H).

Dans D4 il n'y a que 2 éléments d'ordre 4 : et .

[legeniedesalpages]

Salut,

je confirme: il y a 3 éléments d'ordre 4 (i,j et k) et les sous-groupes qu'ils
engendrent chacun sont normaux (d'indice 2 dans H).

Dans D4 il n'y a que 2 éléments d'ordre 4 : et .

Merci Dyo, le prof a du faire une coquille, mais le fait qu'ils n'ont pas autant d'éléments d'ordre 4 font qu'ils ne peuvent être isomorphes, c'est bien ça?

[Dyo]

Ui un isomorphisme conserve les ordres.
(la démonstration est simple)

[Dyo]

Voici une démo (ca devrait être bon :p)

Si est un isomorphisme et un élément d'ordre . Si est l'ordre de .
Je note la loi multiplicativement.
On a ca montre que divise .

Ca c'est vrai pour tout morphisme, maintenant pour un isomorphisme on a l'égalité. On a:
or donc ca implique que c'est à dire divise .

On a donc .

[legeniedesalpages]

ok merci Dyo.