Groupe cyclique

[MC91]

Bonjour,

J'essaie de résoudre l'exercice suivant:

1.Montrer que si G est un groupe d'ordre p premier, alors G est cyclique.
2.En déduire que tout groupe d'ordre 15 est cyclique.

La 1ère question c'est ok, par contre la deuxième me pose problème.
15 n'est pas premier, par contre je remarque que 15=3*5 avec 3 et 5 premiers et premiers entre eux. Peut être qu'il faut partir de là mais j'aurai besoin d'un peu d'aide...

Merci.

[Ben314]

Salut,
Perso, pour la question 2), si on ne suppose pas que le groupe est abélien et si tu n'as jamais vu les théorèmes de Sylow, ben... je sais pas trop comment faire...

Tu connais quoi de la théorie des groupes ?

[MC91]

Salut,
Perso, pour la question 2), si on ne suppose pas que le groupe est abélien et si tu n'as jamais vu les théorèmes de Sylow, ben... je sais pas trop comment faire...

Tu connais quoi de la théorie des groupes ?

Merci de votre réponse.

Je viens de regarder le lien sur wikipédia et cela ne me dit rien.

J'ai vu ce qu'était un groupe cyclique, j'ai vu le théorème de lagrange (l'ordre d'un sous groupe divise l'ordre du groupe). J'ai aussi vu le théorème des restes chinois.
(mon niveau correspond à ce que l'on voit en théorie des groupes en L2 math)

[zygomatique]

salut

tu peux déjà considérer que dans un groupe d'ordre 15 il y a (au moins) un élément d'ordre 3 (notons le a) et (au moins) un élément d'ordre 5 (notons le b)

peux-tu donner d'autre élément d'ordre 3 ? d'ordre 5 ?

[Ben314]

Tu peux déjà considérer que dans un groupe d'ordre 15 il y a (au moins) un élément d'ordre 3 (notons le a) et (au moins) un élément d'ordre 5 (notons le b)

Même ça, quand tu n'as que le théorème de Lagrange à ta disposition, c'est loin d'être facile à démontrer (dans le cas non commutatif bien sûr)

[zygomatique]

Même ça, quand tu n'as que le théorème de Lagrange à ta disposition, c'est loin d'être facile à démontrer (dans le cas non commutatif bien sûr)

oui tout à fait ...

que sais exactement l'auteur ?

l'idée est de "compléter" avec les "éléments manquants" et de construire la table .... pour voir ...

je ne sais si c'est très judicieux .... :lol3:

[Mikihisa]

Si le groupe est abélien tu as un résultat (ça porte p'tet un nom je sais pas) qui dit que si a,b dans G sont tels que |a| et |b| premier entre eux, alors |ab|=|a||b|

Avec la remarque de Zygo le résultat est immédiat.

[Mikihisa]

Rectification : il suffit juste que a et b commutent, pas que le groupe soit abélien.

[MC91]

Nous avons corrigé l'exercice aujourd'hui et en effet, nous l'avons fait dans le cas abélien.

Merci beaucoup pour vos réponses.