Gradient

[doudou63]

bonjour
est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer une sugnification pratique de ce qu'est un gradient: c'est un vecteur dont les composantes sont les dérivées partielles d'une fonction à plusieurs variables donnée? Et dans la pratique c'est la variation d'une fonction de plusieurs paramètres indiquant la plus grande variation de cette fonction? c quoi exactement et pratiquement en fait???
merci

[BQss]

bonjour
est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer une sugnification pratique de ce qu'est un gradient: c'est un vecteur dont les composantes sont les dérivées partielles d'une fonction à plusieurs variables donnée? Et dans la pratique c'est la variation d'une fonction de plusieurs paramètres indiquant la plus grande variation de cette fonction? c quoi exactement et pratiquement en fait???
merci

avec la dérivée partiel par rapport a x

Autrement dit le vecteur est orthogonale au ligne ou f= constante(ligne de niveau),c'est a dire df=0.
Ce qui fait que si tu derives f suivant une direction orthogonale à , la dérivée vaut 0:
est aussi tout simplement la differentiel d'une fonction en interpretant non plus comme un vecteur mais comme une application lineaire de l'espace dual de l'espace vectoriel des vecteurs OM.

[doudou63]

Bonjour,

J’ai bien compris que le gradient est le vecteur dont la direction est normale à celle du vecteur sur laquelle les variables se déplacent en ne donnant aucune variation de la fonction ( la fonction est constante).
Mais j’attire votre attention sur la variation de l’aire d’un rectangle où la Surface S est la fonction et la longueur x et la largeur y les variables
S= x fois y
Variation de l'aire d'un rectangle
Considérons dans le plan (xOy) un rectangle de côté x et y. Sa surface est égale à xy et dépend des coordonnées x et y du point M. Imaginons que l'on déplace le point M un tout petit peu 'de façon infinitésimale, la surface va changer et on peut écrire que : S+dS=(x+dx).(y+dy)=x.y +x.dy+y.dx + dx.dy on en déduit facilement que dS= y.dx+x.dy+dx.dy Une simple application numérique où x et y seraient des mètres et dx et dy 1cm montre que dx.dy est négligeable 'du second ordre'.
dS= (x + dx).(y + dy) – x.y = ydx + xdy = (y,x). (dx,dy)
sur ce pourquoi (y,x).(dx,dy) mais non (x,y).(dx,dy)
ensuite dS = (y,x).(dx,dy) = nabla S fois dOM pourquoi on arrive à nabla S fois dOM ? dOM est-il le vecteur OM ?

On écrit donc:
Nabla S fois dOM = (yi + xj).(dxi + dyj) = (delta(xy)/delta x i + delta (xy)/delta y j) . (dx i + dy j)
Toutes ces égalités sont différentes façon d'écrire...un produit scalaire de deux vecteurs:
dS= (x + dx).(y + dy) – x.y = ydx + xdy =grad (xy). dOM = nabla (x.y). d OM = nabla (x.y) . dOM

où grad (xy) = (y,x)
L'intérêt de l'introduction de ces vecteurs pour exprimer la variation d'une fonction de plusieurs paramètres est de visualiser le fait que la fonction va varier le plus dans la direction du vecteur gradient et que elle ne va pas varier pour tout changement des paramètres dans une direction perpendiculaire au gradient. (yi + xj) . (dx i + dyj) = 0

pour :ydx + xdy = 0 dans notre exemple du rectangle.

[BQss]

Bonjour,


L'intérêt de l'introduction de ces vecteurs pour exprimer la variation d'une fonction de plusieurs paramètres est de visualiser le fait que la fonction va varier le plus dans la direction du vecteur gradient et que elle ne va pas varier pour tout changement des paramètres dans une direction perpendiculaire au gradient. (yi + xj) . (dx i + dyj) = 0

pour :ydx + xdy = 0 dans notre exemple du rectangle.

Bonjour,
Ce n'est pas son interet c'est une consequence.
L'interet du gradient c'est surtout d'introduire le concept de dérivée pour une fonction de plusieurs variables. C'est le meme interet que le differentielle, sauf que la c'est un vecteur et que cette forme est surtout utiliser en mecanique et en physique(ou elle est a tout les niveaux, comme exemple F=grad(p)ds definie la force infinitesimale en fonction de la pression qu'exerce un fluide sur un bout de paroi infiniment petite ou en electrostatique E =-grad(V) avec E le champ electrique et V le potentiel, on y a E perpendiculaire au ligne de champ c.a.d ou V=constante) alors qu'en statistique par exemple on utilise le jacobin( le gradient est le dual du jacobin, c.a.d l'un est un vecteur et l'autre est sont apllication lineaire associé). On utilise aussi le gradient pour l'optimisation notamment pour l'algorythme du gradient conjugué servant a minimiser une fonction: On utilise la direction du gradient pour minimiser la fonction.

En dimension un le gradient et la dérivée sont identique(en interpretant le gradient comme un jacobin).
En dimension >1 le gradient serre aussi a definir la variation infinitesimale d'une fonction, sous sa forme differentielle il serre a de nombreuse chose aussi, notemment a definir l'expression de la composé de fonction de plusieurs variable. D'une maniere generale comme le gradient est un vecteur il donne des informations sur la direction, sur le sens de la variation de la fonction mais aussi sur l’importance de cette évolution.
Son interet est d'introduire le concept de variation pour des fonction de plusieurs variable tout simplement et de sa definition decoule plusieurs propriété dont celle que tu as mis en exergue. Le gradient permet de relier les dérivées partielles aux variations de la fonction, il complete la notion de dérivée partielle qui se revele insuffisante pour etudier plus en profondeur les phenomenes...

[doudou63]

bonjour,
merci à BQSS pour l’explication En fait je comprends les généralités mais mon problème c le détail pour un cas précis je reviens toujours sur l’exemple de la surface du rectangle

Variation de l'aire d'un rectangle
Considérons dans le plan (xOy) un rectangle de côté x et y. Sa surface est égale à xy et dépend des coordonnées x et y du point M. Imaginons que l'on déplace le point M un tout petit peu 'de façon infinitésimale, la surface va changer et on peut écrire que : S+dS=(x+dx).(y+dy)=x.y +x.dy+y.dx + dx.dy on en déduit facilement que dS= y.dx+x.dy+dx.dy Une simple application numérique où x et y seraient des mètres et dx et dy 1cm montre que dx.dy est négligeable 'du second ordre'.
dS= (x + dx).(y + dy) – x.y = ydx + xdy = (y,x). (dx,dy) = nabla S . dOM
Le passage à nabla S fois dOM que je ne comprends pas
Je comprends dOM = (dx,dy) puisque O est l’origine du plan xOy et le point M de coordonnées x et y OM est un vecteur
Mais (y,x) le nabla S ou le vecteur gradient de xy que je n’arrive pas à saisir
Quelqu’un pourrait m’aider la dessus
merci

[doudou63]

Salut tout le monde
Est-ce vrai que le gradient n’est que la dérivée d’une fonction à plusieurs variables Il est un vecteur dont ses composantes sont les dérivées partielles de cette fonction scalaire.
Pour une fonction à une seule variable on ne peut pas dire une différentielle mais tout de suite la dérivée tandisque pour celle à plusieurs variables, on parle de dérivées partielles et leur somme donne la différentielle totale de la fonction mais on ne peut pas dire non plus dérivée de la fonction à plusieurs variables mais dérivées partielles.

Le différentiel de cette fonction U(M) est le produit scalaire du vecteur gradient grad U(M) et du vecteur de déplacement dl, déplacement infinitésimal de M. Mais le taux de variation de la fonction U par rapport à une direction r est U/dr = ?????? je n’arrive pas à expliquer

Sur une surface équiponentielle c'est-à-dire U est constante ( variation nulle), le gradient de U est normale à la direction du déplacemnet de M sur cette surface. Par conséquent, la direction parrallèle au gradient donne le maximum de variation de M, ne peut on pas dire que cette variation est de 100%,c'est-à-dire égale à 1 unité.
Est-ce que quelqu’un pourra m’aider.
merci