Gestion financière - Calcul du TIR

[Ford9smith]

Bonjour à tous,

Je peine à résoudre un calcul de taux de rendement interne qui consiste à trouver le taux qui annule la VAN tel que .

Les cash flows sont les suivants :
CF0 = -5000
CF de t1 à t6= + 1000

Ce qui revient à chercher le taux tel que :


Autrement dit :



Je pense que c'est une suite géométrique mais je ne parviens pas à isoler et je tourne en rond.

Bien à vous.

[Ben314]

Salut,
Pour tout réel , (et ça sert très souvent en calculs de taux).
Donc, si on prend , ton équation c'est ce qui semble plus sympatique (plus de symbole de somme), mais en fait, on ne sait pas exprimer la solution de cette équation à l'aide des fonctions "élémentaires" (log, exp, puissances . . .) donc il y a forcément une fonction dite "spéciale" qui donne les solutions (vu que ça va revenir souvent dans le type de calculs que tu fait), sauf que je connais pas le nom de la fonction (donc je peut pas te dire où chercher).

Par contre, il est assez facile d'approximer avec la précision désiré la solution de l'équation, y compris avec un simple tableur ou une calculette (dichotomie, méthode de Newton, . . .) : Avec ton exemple je trouve donc

EDIT : j'ai l'impression que ton équation finale, ça devrait plutôt être (en commençant à 1) : ça ne change rien du point de vue théorique, mais ça change les valeurs numériques du résultat.

[Ford9smith]

Merci pour votre réponse détaillée, oui effectivement j'ai fait une erreur c'est bien la somme allant de 1 à 6.

J'applique la méthode de Newton en prenant Q0 = 0 et après 5 itérations je trouve que Q ≈ 0.9265 et que r ≈ 0.0793 alors que normalement la réponse finale du corrigé indiqué un r proche 5,3%.

[Ben314]

Si c'est effectivement ça donne et je trouve puis donc à peu prés comme le corrigé.

Donc soit tu t'est trompé en récrivant l'équation, soit ta méthode de Newton déconne...
Perso., quand j'ai une somme de termes d'une suite géométrique qui ne commence pas à l'indice 0, je factorise pour me ramener à 0 (on peut aussi soustraire : à chacun sont truc . . .) :

[Ford9smith]

Merci beaucoup, oui je m'étais trompé dans l'équation !

[SAGE63]

Bonjour à tous et bonne année 2024

Pour FORD9SMITH

Dans cet exercice il s'agit de calculer le Taux de Rendement Interne d'un investissement qui répond aux caractéristiques suivantes :
* investissement avec un seul paiement unique à l'époque "0"
* un cash flow d'un montant identique encaissé à la fin de chaque période annuelle, la première période ayant lieu exactement une période après le paiement de l'investissement.

Dans cet exercice on a doit l'équation suivante :

VALEUR ACTUELLE DES CASH FLOWS RAMENEE A L'EPOQUE "0" = VALEUR ACTUELLE DE L'INVESTISSEMENT A L'EPOQUE "0"

soit

{ 1000 / (1 + r )¹ } + { 1000 / (1 + r )² } +….. + { 1000 / (1 + r )⁵ } + { 1000 / (1 + r )⁶ } = 5000

En mathématiques financières nous sommes en présence d'une suite de "n=6" annuités identiques de 1000 unités monétaires d'une valeur à l'origine de 5 000 unités monétaires.

Divisons par 1000 chaque membre de l'équation on a :

{ 1 / (1 + r )¹ } + { 1 / (1 + r )² } +….. + { 1 / (1 + r )⁵ } + { 1 / (1 + r )⁶ } = 5

Nous sommes en présence de :
LA VALEUR ACTUELLE D'UNE SUITE DE "n" ANNUITES DE 1euro
ou de
LA VALEUR de V(0)

avec :

V(0) = [ 1 - (1 +r)⁻⁶ ] / r

La résolution de cette formule se trouva facilement dans les TABLES DITES FINANCIERES et en particulier la :

TABLE IV - VALEUR ACTUELLE D'UNE SUITE DE "n" ANNUITES DE 1 EURO

qui indique pour un nombre de périodes de 6 :

* au taux de 5 % = 5,075692 la valeur de V(0)
* au taux de 5,25 % = 5,035363 la valeur de V(0)
* au taux de 5,50 % = 4,995530 la valeur de V(0)

Le problème à résoudre donne une valeur de V(0) de 5 il faut faire une interpolation (linéaire) que je vous laisse faire.

On trouvera un résultat légèrement différent de celui trouvé par la méthode de newton.

Cette méthode était utilisée quand les calculatrices de tous types étaient encore au stade de minerai et que les mathèmaticiens en herbe avaient à leur disposition uniquement un crayon, une feuille de papier, une gomme et les tables de logarithmes et les tables financières.

NB : Cette méthode de calcul du TIR est UNIQUEMENT VALABLE pour un montant de cash flow périodique IDENTIQUE.
Dans la réalité financière et pour un examen ou un concours on vous donnera un problème plus difficilie à résoude : par exemple :
* un cash flow périodique différent
* un investissement à payer sur deux ans ou plus
* la fin de l'investissement avec une cession dudit investissement
* la prise en compte de la législation fiscale annuelle ou de cession

fin

[Ford9smith]

Bonjour,

Merci pour votre réponse, j'avais effectivement bien pris note de cette méthode par approximation linéaire durant les séances de travaux pratiques.
J'étais simplement curieux de voir s'il n'y avait pas d'autres méthodes de résolution plus mathématiques : )

Je suivrai bien entendu vos précieux conseils pour l'examen et vous en remercie ; )

Je vous souhaite que l'année 2024 soit meilleure que 2023 mais moins bonne que toutes celles à venir.