Géométrie

[abbadnordine]

bonsoir
un petit exercice de L 2 j'ai fais que la première question aidez moi svp

:hein: ( C est un cone de révolution par rapport a laxe Oz)

C: z²=x²+y² P= by + cz +d =0

W (-ad,-bd,-cd) est le projeté orthogonal du point O(0,0,0) su P

le vecteur n (0,b,c ) avec b²+c² = 1

1. Soit u1= (1;0;0) et u2= (0;-c; b) deux vecteurs . Montrer que R = (W ;u1;u2) est un repère orthonormé de P.

2. Soit M un point de P de coordonnées (X; Y ) dans le repère R. Donner les coordonnées
(x; y; z) de M dans le repère canonique de R3

3. En déduire une équation de l’intersection P avec C dans le repère R.

4. Dans le cas où b² = c² , montrer que lintersection P avec C a pour équation X² + 2dY = 0 ou X²-2dY=0 et en déduire la nature de cette intersection en fonction de d.

Nous nous plaçons désormais dans le cas où b² -c² différent de 0 . Soit W1 le point de P dont les
coordonnées dans le repère R sont (0;(2bcd)/(b²-c²)). Soit R1 le repère (W1;u1;u2).


5. Montrer que lintersection P avec C a pour équation dans le repère R1
:
X'²-(b²-c²)Y'² +d²/(b²-c²)= 0


6. Conclure que lintersection P avec C est une conique de centre W1 et dont les axes ont pour direction u1 et u2. Déterminer en fonction du signe de b²-c² et de la valeur de 'd' la nature de cette conique et, lorsque c’est une hyperbole, préciser ses asymptotes. :marteau:

[siger]

bonsoir
un petit exercice de L 2 j'ai fais que la première question aidez moi svp

:hein: ( C est un cone de révolution par rapport a laxe Oz)

C: z²=x²+y² P= by + cz +d =0

W (-ad,-bd,-cd) est le projeté orthogonal du point O(0,0,0) su P

le vecteur n (0,b,c ) avec b²+c² = 1

1. Soit u1= (1;0;0) et u2= (0;-c; b) deux vecteurs . Montrer que R = (W ;u1;u2) est un repère orthonormé de P.

2. Soit M un point de P de coordonnées (X; Y ) dans le repère R. Donner les coordonnées
(x; y; z) de M dans le repère canonique de R3

3. En déduire une équation de l’intersection P avec C dans le repère R.

4. Dans le cas où b² = c² , montrer que lintersection P avec C a pour équation X² + 2dY = 0 ou X²-2dY=0 et en déduire la nature de cette intersection en fonction de d.

Nous nous plaçons désormais dans le cas où b² -c² différent de 0 . Soit W1 le point de P dont les
coordonnées dans le repère R sont (0;(2bcd)/(b²-c²)). Soit R1 le repère (W1;u1;u2).


5. Montrer que lintersection P avec C a pour équation dans le repère R1
:
X'²-(b²-c²)Y'² +d²/(b²-c²)= 0


6. Conclure que lintersection P avec C est une conique de centre W1 et dont les axes ont pour direction u1 et u2. Déterminer en fonction du signe de b²-c² et de la valeur de 'd' la nature de cette conique et, lorsque c’est une hyperbole, préciser ses asymptotes. :marteau:

2-Le plan P est un plan parllele a l'axe Ox, donc dans le plan zOy le vecteur u2(0,-c,b) se decompose sur les axes Oz et Oy
En revenant aux definitions on a :OM = OW + WM soit en projettant sur les axes
y = -bd + Y *(-c)
z = -cd + Y *(b)
et bien sur x=X
ce qui conduit (sauf erreur)a une intersection en forme d'ellipse
Y²*(c²-b²) +2bcdY + X² - d²*(c²-b²) = 0

Remarque: a la relecture je constate que l'equation n'est pas homogene (terme en X du second degre et non du quatrieme) alors que l'equation de depart l'est.
Pas le temps maintenant de trouver l'erreur!......
......

[siger]

bonsoir
un petit exercice de L 2 j'ai fais que la première question aidez moi svp

:hein: ( C est un cone de révolution par rapport a laxe Oz)

C: z²=x²+y² P= by + cz +d =0

W (-ad,-bd,-cd) est le projeté orthogonal du point O(0,0,0) su P

le vecteur n (0,b,c ) avec b²+c² = 1

1. Soit u1= (1;0;0) et u2= (0;-c; b) deux vecteurs . Montrer que R = (W ;u1;u2) est un repère orthonormé de P.

2. Soit M un point de P de coordonnées (X; Y ) dans le repère R. Donner les coordonnées
(x; y; z) de M dans le repère canonique de R3

3. En déduire une équation de l’intersection P avec C dans le repère R.

4. Dans le cas où b² = c² , montrer que lintersection P avec C a pour équation X² + 2dY = 0 ou X²-2dY=0 et en déduire la nature de cette intersection en fonction de d.

Nous nous plaçons désormais dans le cas où b² -c² différent de 0 . Soit W1 le point de P dont les
coordonnées dans le repère R sont (0;(2bcd)/(b²-c²)). Soit R1 le repère (W1;u1;u2).


5. Montrer que lintersection P avec C a pour équation dans le repère R1
:
X'²-(b²-c²)Y'² +d²/(b²-c²)= 0


6. Conclure que lintersection P avec C est une conique de centre W1 et dont les axes ont pour direction u1 et u2. Déterminer en fonction du signe de b²-c² et de la valeur de 'd' la nature de cette conique et, lorsque c’est une hyperbole, préciser ses asymptotes. :marteau:

Bonjour
2-Le plan P est un plan parllele a l'axe Ox, donc dans le plan zOy le vecteur u2(0,-c,b) se decompose sur les axes Oz et Oy
En revenant aux definitions on a :OM = OW + WM soit en projettant sur les axes
y = -bd + Y *(-c)
z = -cd + Y *(b)
et bien sur x= -ad + X
ce qui conduit (a verifier) a une intersection en forme d'ellipse
.....

[siger]

bonjour,

le plan P est parallele. a l'axe Ox, donc le vecteur u2 se decompose dans le plan zOy sur les axes Oz et Oy
en revenant aux defintions on a
OM= OW + WM ce qui conduit a
x = X
y = -bd -cY
z = -cd + bZ
et a une intersection en forme d'ellipse de la forme ( a verifier)
Y^2*(b^2-c^2) + 4bcdY + d^2( c^_2- b^2) + X^2 = 0
....

[abbadnordine]

bonjour,

le plan P est parallele. a l'axe Ox, donc le vecteur u2 se decompose dans le plan zOy sur les axes Oz et Oy
en revenant aux defintions on a
OM= OW + WM ce qui conduit a
x = X
y = -bd -cY
z = -cd + bZ
et a une intersection en forme d'ellipse de la forme ( a verifier)
Y^2*(b^2-c^2) + 4bcdY + d^2( c^_2- b^2) + X^2 = 0
....

merci pour votre réponse ! mais pour la 3/4/5 ... je suis vraiment bloque j'ai tout tenter

[siger]

merci pour votre réponse ! mais pour la 3/4/5 ... je suis vraiment bloque j'ai tout tenter

?????????
as - tu lu ce que j'ai ecrit et refait les calculs?

3- c'est l'equation de l'intersection du cone avec le plan P, donc qui depend de X et Y
4 - idem avec b^2 - c^ 2 = 0
5- idem 2 avec W1 au lieu de W on reporte x , y et z en fonction de X´ et Y' dans l'expression du cone
.....

[abbadnordine]

mais il nta pas de Z .... cest en fonction de X et Y !

[siger]

dans ma premiere reponse il y avait une erreur d'ecriture, effectivement
on aurait du avoir
y = -bd -cY
z = - cd + bY ( et non bZ)
puisque le vecteur u2 est ddans le plan zOy

[abbadnordine]

oue voila :) ..... mais pour la suite jy comprend rien .... comment vous trouvez l'equation de l'ellipse ..