Géométrie/représentation paramétrique/équation cartésienne

[slfzz]

Bonjour, je rencontre quelques difficultés sur un exercice. Si quelqu'un peut corriger mes erreurs et m'aider sur la suite j'apprécierais beaucoup.

Voici l'énoncé : https://ibb.co/qrmvD2P

Ce que j'ai fait:

i) C(1,1)
ii) P(0,yOB) et Q(xOA,0) (ici je ne suis pas sure de ma réponse mais je ne vois pas comment déterminer yOB et xOA).
iii) Je calcule un vecteur directeur de la droite (AP) : AP(-1,yOB)
Une représentation paramétrique de la droite (AP) passant par le point A(1,0) et de vecteur directeur AP est :
x= 1-t
y=0+yOB*t

Je calcule un vecteur directeur de la droite (BQ) : BQ(xOA,-1)
Une représentation paramétrique de la droite (BQ) passant par le point B(0,1) et de vecteur directeur BQ est:
x= 0+xOA*t
y=1-t

A partir de la question iv je me retrouve coincée, je ne comprends pas le lien entre le point M et les droites (AP) et (BQ), les points M, P et Q ne sont pas colinéaire entre eux. Pour montrer que les deux droites sont parallèles j'ai pensé à comparer leurs vecteurs directeurs mais sans les valeurs de xOA et yOB je ne vois pas comment faire.

Merci d'avance

[catamat]

Bonjour

Puisque OQMP est un parallèlogramme (MQ)//(OP) donc (MQ) est parallèle à l'axe des ordonnées c'est à dire que Q et M ont même abscisse x.

De même M et P ont même ordonnée y.

On peut le trouver aussi en écrivant des égalités de vecteurs...

[catamat]

De plus pour la question (v) il faut résoudre le système des deux équations paramétriques mais pour cela il aurait fallu utiliser des paramètres différents pour les deux équations, t et t' par exemple ...
Ce sont ces paramètres qui sont les inconnues du système (2,2) à résoudre.

D'autre part, ici on définit (x,y) comme étant les coordonnées de M, donc il ne faut pas réutiliser ces lettres pour les points quelconques des équations paramétriques des deux droites car il y a confusion.

Donc soit on modifie les coordonnées de M en (xM,yM) ou (a,b) soit on utilise d'autres lettres pour les coordonnées d'un point quelconque de (AP) , idem pour (BQ), par exemple (X,Y) ou (u,v) etc...

[slfzz]

Bonjour

Puisque OQMP est un parallèlogramme (MQ)//(OP) donc (MQ) est parallèle à l'axe des ordonnées c'est à dire que Q et M ont même abscisse x.

De même M et P ont même ordonnée y.

On peut le trouver aussi en écrivant des égalités de vecteurs...

Si Q et M ont la même abscisse et M et P la même ordonnée. Sachant que les coordonnées x et y de M vérifient xy=1 cela signifie que M a pour coordonnées (1,1) ou (-1,-1) donc Q a pour coordonnées (1,0) ou (-1,0) et P a pour coordonnées (0,1) ou (0,-1). J'en déduis que le vecteur directeur AP équivaut à AP=-BQ dans le premier cas et dans le deuxième cas que AP=BQ ils sont colinéaires et donc bien parallèles ?

[Ben314]

Salut,

Sachant que les coordonnées x et y de M vérifient xy=1 cela signifie que M a pour coordonnées (1,1) ou (-1,-1) . . .

Si je comprend bien, selon toi, les seules solutions de xy=1, c'est x=y=1 et x=y=-1. Pourtant, moi il me semblait que de mon temps (mais c'est vieux...), par exemple lorsque x=1/2 et y=2, le produit ça faisait 1 (ça à évolué depuis ?).
Je me demande même si, dans le temps, il y avait pas des trucs du style que le produit de 2/3 et de 3/2 ça faisait 1 aussi. Il y a peut-être même d'autres solutions : 17 fois un truc =1 c'est possible ou pas ?

[slfzz]

Salut,

Sachant que les coordonnées x et y de M vérifient xy=1 cela signifie que M a pour coordonnées (1,1) ou (-1,-1) . . .

Si je comprend bien, selon toi, les seules solutions de xy=1, c'est x=y=1 et x=y=-1. Pourtant, moi il me semblait que de mon temps (mais c'est vieux...), par exemple lorsque x=1/2 et y=2, le produit ça faisait 1 (ça à évolué depuis ?).
Je me demande même si, dans le temps, il y avait pas des trucs du style que le produit de 2/3 et de 3/2 ça faisait 1 aussi.

AH.. oui.. en effet l'équation xy=1 admet une infinité de solution. 1/17 * 17=1. Alors si je cite un exemple ou deux de valeurs qui marchent ça répond bien à la question ?

[Ben314]

L'énoncé dit quoi concernant le point M : de prendre un ou deux points comme exemples ou bien de prendre absolument n'importe quel point ?

[slfzz]

L'énoncé dit quoi concernant le point M : de prendre un ou deux points comme exemples ou bien de prendre absolument n'importe quel point ?

iv) Montrer que les droites (AP) et (BQ) sont parallèles si et seulement
si les coordonnées x et y du point M dans R vérifient la relation x y = 1.

Il n'y a pas de précision, les coordonnées doivent seulement vérifier la relation xy=1.

[Ben314]

Moi je lit (un peu plus haut) : "Soit M un point quelconque de E privé de . . ."

[slfzz]

Moi je lit (un peu plus haut) : "Soit M un point quelconque de E privé de . . ."

D'accord, j'ai trouvé que si on multiplie un nombre réel non nul par son inverse on a 1 comme résultat.
J'ai comme équation xy=a * 1/a=1 donc les solutions générales sont x=a et y=1/a et les coordonnées de M sont (a,1/a)

[catamat]

D'accord, j'ai trouvé que si on multiplie un nombre réel non nul par son inverse on a 1 comme résultat.
J'ai comme équation xy=a * 1/a=1 donc les solutions générales sont x=a et y=1/a et les coordonnées de M sont (a,1/a)

Si tu veux mais l'essentiel de cette question c'est de démontrer que les droites (AP) et (BQ) sont parallèles si et seulement si xy=1 ! et cela n'a pas été fait...

Comme tu le disais plus haut leurs vecteurs directeurs doivent être colinéaires... il suffit donc d'écrire cela ( la condition de colinéarité)