Géométrie projective

[edouardchappon]

Bonjour, je n'ai pas bien compris le cours de géométrie projective. Je cherche la solution de cette question:
Soit E un espace projectif de dimension 3 sur R. Montrer qu'il existe trois droites (projectives) D1, D2, D3 de E tels que Di ∩ Dj = ∅
pour i ̸= j.
Je ne suis pas à l'aise avec les notion d'espace projectif, je me disais donc que si je raisonnait sur R^4 avec 3 plan c'était la même chose, mais en prenant 3 plans parallèles c'est trivial.
Merci de m'aiguiller svp !

[Doraki]

une droite projective de l'espace projectif, c'est un plan de R^4 qui passe par l'origine.

les droites ne s'intersectent pas quand les plans correspondant sont en somme directe.

[edouardchappon]

Merci de ta réponse, Ça veut dire que si je note ei (i=1,..,4) une base de R^4 j'aurais que les 4 plans engendrés par (ei,ej) i/=j seront en projectif des droites qui ne se coupent pas ? Ainsi j'en prend 3 parmis les 4 et j'ai répondu à ma question?

[edouardchappon]

La deuxième et dernière question est celle ci:Soient D1, D2, D3 de telles droites. Soit A ∈ D1. Montrer qu'il existe une droite projective D contenant A et rencontrant D2 et D3.
Je doute qu'ici raisonner sur R^4 soit la solution car trop compliqué . J'ai trouvé des énoncés qui demandaient même de montrer qu'il en existait une unique, une idée ou une explication à proposer?

[Doraki]

Non, si tu prends le plan P1 engendré par (e1,e2), et le plan P2 engendré par (e2,e3), ils ont une intersection non triviale (la droite engendrée par e2), et donc du coté espace projectif, ça correspond à 2 droites qui se coupent en un point.

[Robot]

Le plan projectif engendré par et rencontre en un unique point ...

[edouardchappon]

Robot du cou si on prend la droite engendré par les points A et l'unique point rencontré dans D3 on est assuré qu'elle coupe D2?

Ha oui Doraki... Je suppose qu'une réponse explicite n'est pas attendu! Merci.

[Doraki]

Ben comment tu comptes montrer qu'il existe 3 droites qui ne s'intersectent pas sans les donner explicitement ??

Il suffit de donner 3 plans vectoriels de R^4 qui sont en somme directe.

Si R^4 te fait vomir, tu peux aussi donner 3 droites dans l'espace qui ne s'intersectent pas et qui ont trois directions différentes (aucune droite parallèle à une des deux autres)

[edouardchappon]

Je ne dompte pas encore R^4 ....
On peut identifier un espace projectif de dim n à R^n si on travaille avec des objets (plans droites hyperplan ect....) qui n'ont pas les mêmes directions? Si c'est cela je viens de comprendre énormément de chose!!

[Doraki]

Non.

Mais l'espace projectif, c'est l'espace usuel, auquel tu rajoutes un tas de "points à l'infini".
Ces points à l'infini correspondent aux directions des droites de l'espace (en fait ils forment un plan projectif)

Par exemple, pour voir la relation entre le plan projectif et le plan usuel, considère R^3.
Les éléments du plan projectif sont les droites vectorielles de R^3, donc les droites passant par l'origine.

Si tu prends un plan affine A dans R^3 qui ne passe pas par l'origine et que tu regardes ce plan comme étant "LE plan usuel", tu peux interpréter dans A les objets projectifs en regardant leur intersection avec A :
A intersecte la plupart des droites vectorielles de R^3. Par chaque point P du plan A il y a une unique droite vectorielle qui passe par P donc tu as une correspondance entre les points du plan A et presque toutes les droites de R^3 (donc presque tous les points du plan projectif).
Les points projectifs que A n'arrive pas à voir (les "points à l'infini") correspondent aux droites de R^3 qui sont parallèles à A. Donc pour chaque direction de droite dans ton plan, tu as "un point à l'infini" que ton plan ne peut pas voir (mais que d'autres peuvent pour peu que tu changes leur direction).

Maintenant une droite projective c'est donc un plan vectoriel, et ce que tu en vois dans A, c'est son intersection avec A, c'est-à-dire une droite, Quand tu translates cette droite pour en faire une droite vectorielle tu obtiens une droite de ton plan vectoriel, donc un point de la droite projective, qui n'intersecte pas A, c'est le point à l'infini de la droite que tu vois dans A.

[Robot]

Robot du coup si on prend la droite engendré par les points A et l'unique point rencontré dans D3 on est assuré qu'elle coupe D2?

Deux droites projectives distinctes dans un plan projectif ont toujours un unique point d'intersection.

[edouardchappon]

Merci à vous deux