Géométrie plane: droites du plan (déterminant)

[thoralf8weblen]

Bonjour à tous,

Je viens demander votre aide pour m'aider à résoudre le problème suivant qui pose difficultés.
Ce problème ne me semble pas être d'une difficulté insurmontable mais les raisonnements en géométrie me posent souvent problème. Bref, on y va:

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. On donne un triangle par les équations de ses côtés:





Ecrire les équations des trois hauteurs du triangle et vérifier qu'elles sont concourantes . On ne calculera pas les coordonnées des points.

J'ai essayé d'exprimer les côtés en utilisant le déterminant, en jouant sur le déterminant nul (droites perpendiculaires). Ca n'a rien donné.
Je pense avoir trouvé une combinaison linéaire mais pareil, ça ne mène nulle part. Pourriez-vous m'aider à y voir plus clair. ?

Je vous en remercie d'avance.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Une hauteur du triangle est une droite du faisceau de droites engendré par deux des côtés qui est perpendiculaire au troisième côté. Ça devrait te permettre d'écrire les équations des hauteurs.

[thoralf8weblen]

Si je ne m'abuse, tu ne fais que me donner ce qui caractérise une hauteur. Sachant cela, je ne suis pas plus avancé.

J'ai essayé de passer par le produit scalaire d'un vecteur directeur par un vecteur normal mais ça ne me mène nulle part étant donné qu'on ne peut calculer les coordonnées des points.
Je me suis donc rabattu sur l'aire d'un triangle. J'ai donc eu l'idée de calculer l'aire du triangle via la formule de Héron mais les calculs sont très lourds... Une fois l'aire obtenue, il suffit de faire A = bh/2, d'isoler h. Mais je me doute qu'il doit y avoir un moyen bien simple... Qu'en dites-vous ?

[GaBuZoMeu]

En quelque sorte, oui, je te rappelle ce qu'est une hauteur. Mais ce rappel bien compris est une indication. C'est à dessein que j'ai parlé de FAISCEAU DE DROITES.
J'explicite un peu plus mon indication.
Une droite du faisceau engendré par les deux premiers côtés est une droite d'équation
.
Une droite perpendiculaire au troisième côté est une droite d'équation
.
Avec ça, tu devrais pouvoir déterminer et , puis pour obtenir l'équation de la hauteur issue de l'intersection des 1er et 2e côtés.
Et une fois que tu as les équations des trois hauteurs, je suppose que tu sais comment utiliser un déterminant pour vérifier qu'elles sont concourantes.

[thoralf8weblen]

Je comprends mieux pourquoi je n'ai pas compris ton indication. La notion de faisceau de droites ne me parle pas... Du coup, je ne comprends pas comment tu en viens à ces deux équations.
Je vois que je suis passé à côté de quelque chose.

[GaBuZoMeu]

Je peux te renvoyer à la page wikipedia :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Faisceau_de_droites
Tu vois en particulier à la fin l'exemple de la détermination d'une équation de la droite passant par un point donné et le point d'intersection de deux droites données, sans calculer ce point d'intersection. C'est tout à fait dans cet esprit que j'ai procédé.

[thoralf8weblen]

J'ai repris l'exemple que tu m'as indiqué. Mais dans cet exemple, on cherche une droite passant par un point donné.
J'ai essayé de reprendre la logique de cet exemple mais je tombe dans une impasse. Voici mon raisonnement:
Je cherche l'équation d'une hauteur partant du sommet de deux côtés du triangle. Supposons que le sommet soit le point d'intersection de et .
Comme tu l'as indiqué, on sait que cette droite est de la forme
Pour que cette droite soit perpendiculaire au troisième côté (), il faut que où désignent respectivement le coefficient directeur de et le coefficient directeur du troisième côté. En posant le calcul, je tombe sur:





Je ne vois donc pas comment tu as pu trouver l'équation de ...

Si je fais avec et , je tombe sur

Bref, je suis un peu perdu...

[GaBuZoMeu]

Pourquoi appelles-tu les côtés et , alors que et sont des constantes qui figurent dans les équations de ces côtés ??

Pas étonnant que tu sois perdu !

Tu dois identifier l'équation d'une droite du faisceau engendré par les deux premiers côtés, qui est

avec l'équation d'une perpendiculaire au troisième côté, qui est
.
Ici, sont des constantes, et sont connus, est à déterminer.
Tu as l'air aussi un peu perdu pour écrire l'équation d'une perpendiculaire. Un vecteur directeur du troisième côté est (d'accord ?), et donc l'équation d'une perpendiculaire au troisième côté s'écrit bien sous la forme où je l'ai écrite (d'accord ?).

Est-ce que ça suffit pour te remettre sur les rails ?

[thoralf8weblen]

D'accord pour l'expression du vecteur directeur. Dans ce cas, pour déterminer l'équation de la perpendiculaire il faut que le produit scalaire du vecteur directeur du troisième côté et du vecteur directeur de la droite du faisceau engendré par les deux côtés fasse 0.
Avec, par exemple, et

Si tu parles d'identification, j'entends:

,

sommes-nous d'accord ?

[GaBuZoMeu]

Bien, je vois que tu es relancé (il y a quelques coquilles, mais je pense que tu as bien compris). Tu peux continuer.

As-tu compris ce que j'écrivais à propos de ?

[thoralf8weblen]

Parfait. Quelles sont ces coquilles ?

Justement, je n'en suis pas bien certain. Voilà ce que je comprends: est la constante qui exprime un des côtés du triangle, est la constante qui exprime un autre côté de ce même triangle. En revanche est l'équation de la droite qui est perpendiculaire au troisième côté qui "vaut" . Il faut donc déterminer ce que vaut et à partir de .
Ai-je bien compris ce que tu voulais dire ?

[GaBuZoMeu]

la constante qui exprime un des côtés du triangle

Je ne comprends absolument pas ce que ça veut dire.

Je réécris l'équation du premier côté sous la forme

Qu'est-ce que "exprime" ???? Rien du tout à mon avis. Je le répète, est une constante qui figure dans l'équation du premier côté.

[Black Jack]

Bonjour à tous,

Je viens demander votre aide pour m'aider à résoudre le problème suivant qui pose difficultés.
Ce problème ne me semble pas être d'une difficulté insurmontable mais les raisonnements en géométrie me posent souvent problème. Bref, on y va:

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. On donne un triangle par les équations de ses côtés:





Ecrire les équations des trois hauteurs du triangle et vérifier qu'elles sont concourantes . On ne calculera pas les coordonnées des points.

J'ai essayé d'exprimer les côtés en utilisant le déterminant, en jouant sur le déterminant nul (droites perpendiculaires). Ca n'a rien donné.
Je pense avoir trouvé une combinaison linéaire mais pareil, ça ne mène nulle part. Pourriez-vous m'aider à y voir plus clair. ?

Je vous en remercie d'avance.

Bonjour,

J'ai essayé d'exprimer les côtés

Les droites supportant les cotés sont données, il n'y a donc rien à chercher pour "exprimer les cotés".

On peut trouver les coordonnées d'un sommet en résolvant le système de deux équations de cotés.
Par exemple, on a le système :



... qui résolu donne les coordonnées du sommet , appelons ce sommet S3

La hauteur issue de S3 est perpendiculaire à la droite d'équation , dont le coefficient directeur est
Donc la hauteur a pour coeff directeur

Tu as alors le coeff directeur de cette hauteur et les coordonnées du sommet dont elle est issue ... donc tout ce qu'il faut pour en trouver l'équation. (juste prendre garde au cas ou un est nul ...)

Quand on a l'équation de la hauteur, on peut trouver les 2 autres par simples commutation des indices (des alpha et des p) dans l'équation de la tangente déjà trouvée (toujours prendre garde au cas ou un est nul ...)

Et ensuite ...

[GaBuZoMeu]

Rappel de l'énoncé :

Ecrire les équations des trois hauteurs du triangle et vérifier qu'elles sont concourantes . On ne calculera pas les coordonnées des points.

[thoralf8weblen]

Bonsoir,

La hauteur issue de S3 est perpendiculaire à la droite d'équation , dont le coefficient directeur est
Donc la hauteur a pour coeff directeur

Hormis le fait que je n'ai pas le droit de calculer les coordonnées des points, je suis embêté par le calcul de ce coefficient directeur. S'il vaut , alors il faut égal à . Je ne vois pas ce que valent ces coordonnées...

Sinon, je suis parti de ma droite engendré par le faisceau de droite. J'ai calculé son vecteur directeur. J'obtiens . Le vecteur directeur du troisième côté est .
Pour que soit une hauteur, il faut que le produit scalaire des deux vecteurs directeurs que je viens d'exprimer soit égal à zéro.
J'ai posé le calcul, je patauge...

[GaBuZoMeu]

L'équation d'une droite n'est définie qu'à un facteur près. Si tu multiplies et par une même facteur non nul, tu vas retrouver la même droite du faisceau.
Pourquoi alors se compliquer la vie ?
Il suffit de résoudre le système



pour déterminer et . À partir de là on obtient , et l'équation de la hauteur tombe :

.

[Black Jack]

Bonsoir,

La hauteur issue de S3 est perpendiculaire à la droite d'équation , dont le coefficient directeur est
Donc la hauteur a pour coeff directeur

Hormis le fait que je n'ai pas le droit de calculer les coordonnées des points, je suis embêté par le calcul de ce coefficient directeur. S'il vaut , alors il faut égal à . Je ne vois pas ce que valent ces coordonnées...

Sinon, je suis parti de ma droite engendré par le faisceau de droite. J'ai calculé son vecteur directeur. J'obtiens . Le vecteur directeur du troisième côté est .
Pour que soit une hauteur, il faut que le produit scalaire des deux vecteurs directeurs que je viens d'exprimer soit égal à zéro.
J'ai posé le calcul, je patauge...

Bonjour,

Je n'avais pas vu qu'on ne devait pas calculer les coordonnées des sommets ...
Néanmoins, la méthode que j'ai indiquée (non conforme à l'énoncé, donc interdite) conduit facilement aux solutions (équation des tangentes)
On arrive aux mêmes équations (encore bien) que par la méthode préconisée (conforme à l'énoncé) par GaBuZoMeu.

J'ai fait l'exercice par les 2 méthodes (celle préconisée par GaBuZoMeu et la mienne) et on arrive sans difficultés majeures à trouver les équations des hauteurs.

Résoudre le système proposé dans le message du 24 Aoû 2021 08:27 est basique
Et cela donne ensuite directement, par l'expression aussi fournie dans ce message, à l'équation d'une des hauteur

Pas difficile par simple commutation d'indice dans l'équation trouvée de trouver celles des autres hauteurs

J'ai beaucoup de mal à imaginer où tu peux coincer en utilisant toute l'aide fournie

[thoralf8weblen]

J'ai beaucoup de mal à imaginer où tu peux coincer en utilisant toute l'aide fournie

Oui, la démarche est claire. Je vois très bien comment résoudre l'exercice. Mais je trouve des valeurs pour et qui me paraissent douteuses...





J'ai une question. Si on note A, B et C les trois côtés du triangle, avec A valant , B valant et C valant , la droite engendrée par le faisceau de droites des côtés A et B s'écrit bien mais le vecteur () est bien le vecteur directeur du troisième côté, c'est-à-dire C, pas de la droite engendrée. On est bien d'accord ? A lire les précédents messages, j'ai eu un doute.

Parallèlement à vos raisonnements, j'ai essayé d'aller jusqu'au bout de mon idée. J'ai calculé le produit scalaire du vecteur directeur de la droite engendrée et du vecteur directeur du troisième côté. Je tombe sur .

[Black Jack]

J'ai beaucoup de mal à imaginer où tu peux coincer en utilisant toute l'aide fournie

Oui, la démarche est claire. Je vois très bien comment résoudre l'exercice. Mais je trouve des valeurs pour et qui me paraissent douteuses...





J'ai une question. Si on note A, B et C les trois côtés du triangle, avec A valant , B valant et C valant , la droite engendrée par le faisceau de droites des côtés A et B s'écrit bien mais le vecteur () est bien le vecteur directeur du troisième côté, c'est-à-dire C, pas de la droite engendrée. On est bien d'accord ? A lire les précédents messages, j'ai eu un doute.

Parallèlement à vos raisonnements, j'ai essayé d'aller jusqu'au bout de mon idée. J'ai calculé le produit scalaire du vecteur directeur de la droite engendrée et du vecteur directeur du troisième côté. Je tombe sur .

Tu ne peux évidemment pas, dans le système résolu, avoir mu dans la valeur de Lambda.

L*cos(a1) + m*cos(a2) = -sin(a3) (1)
L*sin(a1) + m*sin(a2) = cos(a3) (2)

(1) --> L = -(sin(a3) + m.cos(a2))/cos(a1)

dans (2) --> -(sin(a3) + m.cos(a2))/cos(a1) * sin(a1) + m*sin(a2) = cos(a3)

-(sin(a3) + m.cos(a2)) * sin(a1) + m*sin(a2)*cos(a1) = cos(a3)*cos(a1)

m(sin(a2).cos(a1)-sin(a3).sin(a1)) = cos(a3)*cos(a1) + sin(a3).sin(a1)

m * sin(a2-a1) = cos(a1-a3)

m = cos(a1-a3)/sin(a2-a1)

et de manière analogue, on trouve : L = cos(a2-a3)/sin(a1-a2)

[GaBuZoMeu]

A valant

Qu'est-ce que ça veut dire, qu'une droite "vaut" quelque chose ???
est une équation de A.

la droite engendrée par le faisceau de droites des côtés A et B s'écrit bien

Bon sang de bonsoir, combien de fois devrais-je répéter que et sont des constantes figurant dans l'équation des côtés pour que tu en prennes enfin note ?
Par exemple, l'équation de A est , celle de B est . Penses-tu alors que le faisceau de droites engendré par A et B s'écrit ? Tu vois bien que ça n'a aucun sens.