Géométrie du plan

[Eldiablo78]

Courbes de niveau M->AM/BM

Soient A et B deux points du plan, et *+.
L'objet de cet exercice est l'etude des lignes de niveau de
la fonction M->AM/BM
On notera donc E l'ensemble {M P | AM/BM=}

1. Décrire E1.

2. On suppose dans le reste de l'exercice que 1. Montrer que pour tout M P privée de {B}, M P (-)(+)=0.

3. En déduire qu'il existe deux points G1 et G2, que l'on déterminera en fonction de A, B et , tels que pour tout M P privée de {B}, M . = 0 .

4. En déduire E.

5. Exprimer le milieu I de [G1;G2] comme un barycentre de A et B ; exprimer le rayon r de E en fonction de et AB.

6. Une propriétés des E.

(a) Soient deux cercles C1 et C2, de centres respectifs O1 et O2, et de rayons respectifs r1 et r2. Ces deux cercles sont dits orthogonaux s'il s'intersectent en deux points, et si aux points d'intersection, les tangentes aux deux cercles sont orthogonales. Rappeler la condition nécessaire et suffisante sur O1O2, r1 et r2 pour que ces deux cercles aient deux intersections, puis montrer que C1 et C2 sont orthogonaux ssi r²1+r²2=O1O2²

(b) Montrer que les E (avec 1) sont tous orthogonaux au cercle de diamètre [AB].

Je vous remercie de bien vouloir m'aider. Je suis arrivée à faire la question 1 et 2 mais après je bloque.

Merci et Vive les maths !!

[Harchy]

Salut

La question 2 n'est-elle pas plutôt :

On suppose dans le reste de l'exercice que. Montrer que pour tout privée de {B}, ?

En effet avec ta formulation, si M=B, on trouve AB²=0 !

Auquel cas la question 3 est une question de barycentres et la formulation de la question 5 te donne un indice pour répondre à la question 4.

[Eldiablo78]

Oui en effet j'avais oublié les lambda.

[Harchy]

As tu trouvé les barycentres de la question 3) ?

[Eldiablo78]

Oui c bon c'est plus la question 4 et les autres que je n'arrive pas à faire.

[Harchy]

Si le produit scalaire est nul, c'est que les vecteurs sont orthogonaux.
Apparemment, tu as oublié la propriété du cours qui permet de conclure.
Comme on te demande le rayon de à la question 5), tu dois trouver un cercle. Sais tu lequel ?

[Eldiablo78]

Oui je sais que je dois trouver un cercle j'ai fais un dessin mais je n'arrive pas a trouver quel est ce cercle !

[Harchy]

C'est un cercle de diamètre .....

[Eldiablo78]

C'est un cercle de diamètre G1G2.

Mais alors pour la 5 je ne vois pas du tout

[Harchy]

C'est ça.
Pour la 5), cherche à traduire I comme barycentre de (A;?) et (B;?)

[Eldiablo78]

J'ai essayé en sachant que c'est le milieu de G1G2 mais je ne trouve pas

[Harchy]

J'ai posé G1 bar (A,1)(B,-)et G2 bar (A,1)(B,)

Donc pour tout M du plan, on a

Avec l'autre égalité en ;, tu n'as plus qu'à les replacer dans l'égalité barycentrique entre ; et ;

[Eldiablo78]

D'acord mais comment on fais trouver le rayon !

[Harchy]

Tu dois maintenant donner une expression vectorielle d'un rayon en fonction de . C'est juste un calcul car tu as déjà traduit chaque point comme un barycentre de A et B

[Eldiablo78]

Tu pourrais pas me donner tes résultats parce que ca j'ai forcement du me gourer je trouve des résultats abérants.

[Harchy]

Que proposes tu pour I barycentre de (A; ) et (B; ) ?

[Eldiablo78]

Je trouve I barycentre de (A;1/1+lambda) et (B; 1/1-lambda)

[Harchy]

Je pense que tu as oublié des termes :
on a

soit

[Eldiablo78]

Oui mais c'est à partir de la que justement je n'arrive pas à trouver le barycentre.

Tu dois pas me trouver très doué mais les barycentres j'ai toujours détestée ca.

[Harchy]

Il faut passer un même dénominateur donc multiplie la première partie au num. et au dénom. par et la seconde par .
Tu dois voir apparaitre au dénominateur du
Tu as déjà passé le cap de la difficulté des barycentres et maintenant, ce n'est plus que du calcul et de la confiance.