Géométrie euclidienne

[birdy01]

Bonjour à tous !
Pour mon premier post, j'ai quelques questions à vous poser à propos de la géométrie euclidienne :

1°) Comment calculer une projection orthogonale d'un vecteur F(a,b,c) sur un plan engendré par 2 vecteurs u(c,d,e) et v(f,g,h)

2°) Comment déterminer la dimension d'un sous espace vectoriel ?
(par exemple : E = {(x,y,z) ; 2x -5y + z = 0} montrer que dim E=2)

3°) Montrer que 2 droites dont on connait les vecteurs directeurs sont parallèles

Merci beaucoup de votre aide :++:

[yos]

Bonjour.

1°) Prends un vecteur normal au plan et unitaire (c'est-à-dire orthogonal à tes deux vecteurs u, v, et de norme 1; soit en bricolant soit en faisant le produit vectoriel de u et v).
Ensuite est la composante selon de . Du coup, la composante selon le plan est .

2°) Noyau de la forme linéaire et applique le th. du rang.

3°) On montre que ces deux vecteurs sont colinéaires (coordonnées proportionnelles).

[birdy01]

Merci beaucoup pour ces 3 réponses.
Mais je ne comprends pas très bien la première explication :marteau: . J'ai trouvé un petit exercice d'application sur Internet et malgré tes explications je ne parviens pas à le résoudre.
Soit un plan F engendré par et . Donnez la projection de sur F.

Sinon je pense avoir compris les 2 autres explications (ouf !)
Merci d'avoir pris le temps de me répondre.

[yos]

Prends .
.
Le vecteur que tu cherches est dont tu peux calculer les coordonnées.

[birdy01]

Je commence à comprendre mais je ne trouve pas la bonne solution.
Ma solution :
Solution de l'exercice :

où est l'erreur ?
merci beaucoup yos !

[Joker62]

ça a l'air sympa cette histoire de géométrie Euclidienne.
C'est du concret avec les outils d'algèbre en fait...

[yos]

où est l'erreur ?

Ben, ... pas dans mes calculs en tout cas :
W(-1,1,2)


et quand on soustrait, ça donne bien le résultat du livre.

[birdy01]

oups ! j'avais mis un - en trop.
Tout est correct ! merci beaucoup de ton aide :++: c'est sympa !
@+