Géométrie espaces affines

[marvar]

Bonsoir,
J'essaye de faire des exercices de géométrie de Master 1. Seulement ma formation de classe prépa (PSI) ne me permet pas d'avoir toutes les connaissances suffisantes, j'aimerai donc si vous pouviez me donner des conseils et des pistes de recherches (théorèmes ou notions à voir), ça serait cool ! :p

1.
Soit ABC un triangle non aplati d'un plan affine réel P. On considère trois points P, Q et R distincts des sommets tels que P appartienne à (BC), Q appartienne à (CA) et R à (AB).
Soit I,J et K, points de P tels que QARI, RBPJ et PCQK soient des parallelogrammes.
Montrer que I, J, K alignés ssi P,Q R alignés.

(idée : traduire les conditions de parallélisme à l'aide du produit vectoriel et/ou du determinant)

2.
Soit E un espace affine de dimension 3 et (A, B, C, D) un repère de E.
Montrer qu'il existe une unique application affine f de E dans E tq
f(A)=A, f(B)=C, f(C)=D et f(D)=B

Déterminer les sons espaces afines (points, droites, plans) de E stables par f

(idée : travailler sur la matrice de f dans la base en question)

3
L'espace affine E de dimension n étant munie du repère R, on considère n points affinement indépendants de coordonnées .
Montrer que les sous espace affine engendré par ces points est l'hperplan de E dont une équation est :


(manque d'idées la )

Merci d'avance !

Marvin.

[marvar]

Et bien... J'ai beau titiller les équations dans tous les sens pour le premier, rien ne vient. Quelqu'un pourrait-il me donner une piste ? Un chemin à suivre ?

[marvar]

Pour le 2. j'écris sa matrice :


Pour trouver un point stable, posant N=(a,b,c,d) la matrice du point dans la base considérée, je résous :
M.N=N, ce qui me fournit N=(a,b,b,b)
Ainsi j'en déduis que tout point s'écrivant ainsi est stable.
Le problème c'est que jusqu'à maintenant j'ai travaillé les espaces vectoriels et non affines, ici c'est comme si j'avais trouvé une droite vectorielle stable, mais je ne sais pas comment trouver plans et droites affines stables...

Marvin.

[Manny06]

Pour le 2. j'écris sa matrice :


Pour trouver un point stable, posant N=(a,b,c,d) la matrice du point dans la base considérée, je résous :
M.N=N, ce qui me fournit N=(a,b,b,b)
Ainsi j'en déduis que tout point s'écrivant ainsi est stable.
Le problème c'est que jusqu'à maintenant j'ai travaillé les espaces vectoriels et non affines, ici c'est comme si j'avais trouvé une droite vectorielle stable, mais je ne sais pas comment trouver plans et droites affines stables...

Marvin.

pour le 2)
(A,B,C,D) étant un repère affine de E tu as du voir qu'il existe une seule aplication affine transformant un repère en un repère et c'est même une bijection

en utilisant les vecteurs (AB,AC,AD) tu peux trouver facilement la matrice de l'application linéaire F associée
tu sais que f(M) =f(A)+F(AM) soit f(M) =A+F(AM)

soit vecteur AM' =F(AM)

[marvar]

Du coup :
f(A)=A
f(B)=A+F(AB)=C
f(C)=A=F(AC)=D
f(D)=A+F(AD)=B

Soit :
F(AB)=C-A=AC
F(AC)=D-A=AD
F(AD)=B-A=AB

J'en déduis la matrice de F :


Je cherche alors l'ensemble des points stables :
f(M)=M
soit grâce à F (AM = a.AB + b.AC + c.AD) : a=b=c.
Le points stables sont ceux qui s'écrivent (a,a,a) dans la base (AB,AC,AD)

[marvar]

Un petit coup de pouce pour la suite ? Malgré l'écart minime entre ceci et mes connaissances sur les espaces vectoriels, je n'arrive pas à joindre les bouts...

[Manny06]

Un petit coup de pouce pour la suite ? Malgré l'écart minime entre ceci et mes connaissances sur les espaces vectoriels, je n'arrive pas à joindre les bouts...

en prenant comme origine le point A les plans d'equations x+y+z=c sont globalement invariants