Géometrie dans l'espace (1)

[eugene]

l'espace affine euclidienest raporte a un repere orthonormal directe(o,i,j,k).
soit D la droite passant par A(2,1,0)et dirigee par le vecteur u(1,-1,2).
soit D' la droite passant par B(3,3,-1)et dirigee par le vecteur v(2,1,1).

MONTRER QUE D ET D' SONT COPLANAIRES ET FORMER UNE EQUATION CARTESIENNE DU PLAN QUI LES CONTIENT.

[mathelot]

bonjour,
d et d' sont coplanaires si et seulement si elles sont parallèles ou ont (au moins) un point d'intersection.
leurs vecteurs directeurs sont linéairement indépendants. Ces deux droites
affines ne sont pas parallèles. Quant à leur point d'intersection,
il est donné par les systèmes d'inconnues et



qui a pour solution: et
conclusion: les droites d et d' sont coplanaires car sécantes en un point.

[mathelot]

Le point C d'intersection de d et d' a pour coordonnées:
C(1,2,-2)
l'équation paramétrique du plan passant par C et contenant d et d' est:
(notation due au mathématicien Grassmann)
où dirige la droite affine d et dirige la droite affine d'.
l'équation paramétrique du plan contenant d et d' est donc:



les deux premières équations permettent de calculer et en fonction de x et y. En reportant les valeurs de et dans la troisiéme égalité, on obtient une équation cartésienne du plan.

[mathelot]

tout calcul fait, une équation cartésienne du plan contenant d et d':

modulo les erreurs de calculs !!

[mathelot]

je te résume la discussion:
on commence par regarder les droites vectorielles et
1) si elles ont des vecteurs directeurs proportionnels, alors:

dans ce cas, d et d' sont confondues si elles ont un point d'intersection sinon elles sont parallèles.
2) si leurs vecteurs ne sont pas proportionnels, et engendrent un plan vectoriel.
dans ce cas, si d et d' ont un point d'intersection , alors d et d' sont coplanaires
et le plan qui les contient a pour direction
sinon d et d' ne sont pas coplanaires.

[eugene]

merci pour ces explications

[eugene]

les coordonnées de C ne serait pas (1,2,-1)

[mathelot]

je ne crois pas. mes calculs sont justes parce que l'équation que je trouve à la fin, du plan contenant d et d' est vérifiée par les coord. de A et par les coord. de B

[eugene]

comment as tu fait pour trouver C puis l'équation cartesienne

[mathelot]

Dans le message de 11h45, tu résoud le système d'inconnues et
(2 inconnues,trois équations) et tu calcule la valeur correspondante de x,y,z.
ça donne les coordonnées de C. Pour l'équation cartésienne du plan P
il faut la déterminer connaissant le point C et deux vecteurs de et qui sont les directions respectives de (d) et (d').