Géométrie, concourence

[SergeM]

Exo (du jury) d'oral 2 de capes:

Soit ABCD un quadrilatère convexe, E et F les intersections respectives de (AB) , (CD]) et (AD) (BC).

1) (Péniblement résolue) Montrer que les cercles circonscrit aux 4 triangle ABF, ADE, BCE et CDF concourent en un point que l'on appelera G.

2) Verifier que les projections orthogonales de G sur les 4 cotés sont alignés.

3) Montrer que les centre des 4 cercles circonscrits et le point G sont concourants.


Voila c'est probablement tout con mais après avoir bien galèré sur la première question (et les autres) je me retrouve à demander de l'aide pour pas devoir secher ma présentation demain. :marteau:

Merci

[Ericovitchi]

Oui le point G s'appelle le point de Miquel du quadrilatère et le théorème le "théorème du pivot".
tu devrais trouver des démonstrations sur internet en cherchant à point de Miquel. Pour les questions 2 et 3 aussi.

[Ben314]

Salut,
Le 1) n'est pas super façile à trouver, mais la rédaction est assez courte (angles de droites)

Pour le 2) le plus simple est d'utiliser le "théorème de ???" (je vais chercher si je retrouve le nom) qui dit que :

Soit ABC un vrai triangle, M un point du plan et P,Q,R les projetés de M sur les droites (AB), (AC) et (BC).
Les points P,Q et R sont alignés ssi le point M est sur le cercle circonscrit à ABC

Si tu connait pas le théorème, il faut.. le prouver : c'est (encore) des angles de droite.

Pour le 3) je comprend pas la question...

Edit : le théorème de ???, ça à l'air de s'appeler la Droite de Simson et une preuve est là

[SergeM]

Merci de la réponse.
Effectivement c'est "que de l'angle inscrit" donc à priori "faisable par un 3ieme" mais bon avec des droites et des cercles partout sur la figure...

++