Géométrie affine

[renard20072007]

Pourriez vous m’aider à terminer cet exercice ?
je suis désolé pour l'alignement !

La plan affine P est rapporté au repère (O,i,j) et alpha est un réel.
Soit f(alpha) l’application de P dans P associant à tout point M(x,y) le point M’(x’,y’) t.q.
(dans la suite, à la place de alpha, je note a).
{ x’ = (a+1)x - y
{ y’ = (a+2)x -2y

1) Justifier que, pour tout alpha, f(alpha) est affine et préciser la matrice Ma de sa partie linéaire phi(alpha) dans la base (i,j)

{ x’ = (a+1)x - y ssi (x’) = ( a+1 -1 ) * ( x ) + ( 0 )
{ y’ = (a+2)x -2y (y’) ( a+2 -2 ) ( y ) ( 0 )
Soit pli l’endomorphisme de E tq Ma = (a+1 -1) et 0’ = ( 0 )
__________________________________(a+2 -2) ( 0 )
(x’ - 0) = ( a+1 -1 ) * ( x )
(y’ - 0) ( a+2 -2 ) ( y )
ssi O’M’ =phi(OM) (en vecteurs)
ssi f(O)f(M) =phi(OM) (en vecteurs) où phi est linéaire pour tout alpha
donc f est affine.

2) Déterminer l’ensemble des valeurs de alpha pour lesquelles f(alpha) est bijective. Déterminer alpha pour que f(alpha) soit involutive.

f est bijective ssi phi est bijective ssi det(Ma) 0
det(Ma) = | a+1 -1| = (a+1)(-2)-(a+2)(-1) = -2a-2+a+2= -a
_________| a+2 -2|
det(Ma) 0 ssi a 0
f est bijective pou tout alpha 0.

f est involutive ssi fof=Id
fof = Id ssi Ma * Ma = I
_______ssi (a+1 -1) * (a+1 -1) = (1 0)
__________(a+2 -2) (a+2 -2) (0 1)

_______ssi ( (a+1)² - (a+2) _____ -(a+1) +2 ) = (1 0)
__________( (a+2)(a+1)-2(a+2) __ -(a+2) +4 ) (0 1)

_______ssi ( a²+1+2a - a-2 -a -1 +2 ) = (1 0)
__________( a²+a+2a+2-2a-4 -a -2 +4 ) (0 1)

_______ssi ( a²+a-1 -a +1 ) = (1 0)
___________( a²+a -2 -a +2 ) (0 1)

_______ssi { a²+a-1 = 1
__________{ a²+a -2 = 0
__________{ -a+1 = 0
__________{ -a+2 = 1

_______ssi { a² +a -2= 0
__________{ a²+a -2 = 0
__________{ a= 1
__________{ a= 1
f(alpha) involutive ssi alpha =1.

3) déterminer l’ensemble des points invariants par f(alpha): (discuter)

M Inv(f(a)) ssi f(a)(M) = M
___________ssi f(a)((x,y)) = (x,y)
___________ssi (x’,y’) = (x,y)
___________ssi ((a+1)x-y , (a+2)x-2y) = (x,y)
___________ssi { (a+1)x-y = x
______________{ (a+2)x-2y = y
___________ssi { ax-y = 0
______________{ (a+2)x-3y = 0
___________ssi ( a -1 ) * ( x ) = ( 0 )
______________(a+2 -3) ( y ) = ( 0 )

det = | a -1 | = -3a +a +2 = 2-a
_____| a+2 -3 |

1er cas : a 2
det 0 donc solution unique
_______donc syst de Cramer


_____ | 0 -1 |_______________________| a 0|
_____ | 0 -3 |_______________________| a+2 0 |
x = ------------------- = 0 y = ------------------- = 0
___________det______________________________det

0(0,0) apartient à Inv(f(a)).

2eme cas : a =2

{ ax-y = 0
{ (a+2)x-3y = 0
ssi
{ 2x-y = 0
{ 4x-3y = 0
ssi
{ x = y/2
{ 4x-3y = 0
ssi
{ x = y/2
{ 2y-3y = 0
ssi
{ x = y/2
{ -y = 0
ssi
{ x = 0
{ y = 0

0(0,0) appartient à Inv(f(a)).

4) Etudier f(1) et préciser ses éléments :

f(1) : { x’ = 2x – y
______{ y’ = 3x – 2y
D’après les questions précédentes, f(1) est bijective, involutive.
Elle admet comme point invariant 0(0,0).
On en déduit que f(1) est une symétrie affine.
Je n’arrive pas à déterminer ses éléments, en particulier l’axe de symétrie !!!

5) Soit l’application f(0). Préciser la matrice M0 de sa partie linéaire et montrer qu’elle est diagonalisable. Déterminer une matrice diagonale semblable à M0 et montrer qu’elle est le produit commutatif d’une homothétie vectorielle et d’une projection vectorielle. En déduire que f(0) est la composée d’une projection et d’une homothétie que l’on précisera. Donner une méthode de construction de l’image M’ par f(0) d’un point M quelconque de P.

M0 = ( 1 -1 )
_____( 2 -2 )

on considère B=(e1,e2), la base canonique de C² où e1=(1,0) et e2=(0,1)
d’après la matrice M0, on a f(e1) = e1 + 2*e2
_______________________f(e2) = -e1 -2*e2
f(x,y) = f[x(1,0)+y(0,1)] = f[x*e1+y*e2] = x*f(e1) + y*f(e2)
____= x*(e1+2*e2) + y* (-e1 -2*e2) = x*(1,2)+y*(-1,-2) = ( x-y , 2x -2y )

f est diagonale ssi pour chaque valeur propre, on a dim(Elamda)=dim(Nlamda)

det(M0-X*I2) = 0 ssi | 1-X -1 | = 0
___________________| 2 -2-X |
ssi -(1-X)(2+X)+2 =0
ssi -(2+X-2X-X²)+2 =0
ssi X²+X =0
ssi X(X+1) =0

n=2
p=2 : lam1, lam2
On pose lam1 = 0 et lam2 = -1
On a dim(Nlam1) = dim(Nlam2) = 1

1er cas : lam1= 0
cherchons la dimension de Elam1 .
( 1 -1 ) * ( x ) = ( 0 )
( 2 -2 ) ( y ) ( 0 )
ssi { x-y = 0
___{ 2x - 2y =0
ssi { x = y
___{ x = y
Donc Elam1= Ker[ f –lam1*Id ] = { (p,p) appartient à C² / p appartient à C }
Or u1 = (1,1) forme une base de Elam1.
Donc dim(Elam1) = 1.
Ainsi dim(Elam1) = dim(Nlam1).

1er cas : lam2= -1
cherchons la dimension de Elam2 .
( 2 -1 ) * ( x ) = ( 0 )
( 2 -1 ) ( y ) ( 0 )
ssi { 2x-y = 0
___{ 2x-y =0
ssi { 2x = y
___{ 2x = y
Donc Elam2= Ker[ f –lam2*Id ] = { (p,2p) appartient à C² / p appartient à C }
Or u2 = (1,2) forme une base de Elam2.
Donc dim(Elam2) = 1.
Ainsi dim(Elam2) = dim(Nlam2).

On conclut que f est diagonalisable.

Cherchons sa matrice semblable.
Sa matrice semblable doit s’exprimer en fct de u1 et u2.
f(u1) = f((1,1)) = (0,0) = 0u1+0u2.
f(u2) = f((1,2)) = (-1,-2) = 0u1+(-1)u2.

Donc M0s = ( 0 0 )
__________( 0 -1 )

Je n’arrive pas à faire la suite !!!
Je n’arrive pas à reconnaître l’homothétie et la projection en question.

[fahr451]

bonjour

l'axe de symétrie est dirigée par la droite vectorielle égale à l'ensemble des vecteurs fixes de phi ( partie linéaire de f)

résoudre phi (u) = u trouver une droite dirigée par u0

et l'axe est la droite affine passant par 0(0,0) dirigée par u0

[renard20072007]

Pourriez vous me dire si c'est bon pour le 4)

L'axe de symétrie est dirigé par la droite vect égale à l'ensemble des vecteurs fixes de phi.

Je rappelle que ici, Mat(phi) = (2 -1)
_________________________(3 -2)

phi(u)=u où u(x,y) (en vecteurs)
ssi (2 -1) * ( x ) = ( x )
___(3 -2)__( y ) = ( y )
ssi
{ 2x-y=x
{ 3x-2y=y
ssi
{ x-y=0
{ 3x-3y=0
ssi
{ x=y
{ x=y
Je prends, par ex u0=(1,1)
J'en déduis que l'axe est la droite affine passant par 0(0,0) dirigé par u0.

P.S. : si vous voyez des erreurs, dites le moi SVP :we:
merci pour ton explication fahr451 :zen:

[fahr451]

je fais pas les calculs désolé