Gauss et intégrale

[Aubenoire]

Bonjour,
J'ai un problème de physique, mais comme la partie de la résolution qui me pose problème concerne des intégrales et la loi de Gauss, je me permets de venir chercher de l'aide ici.

(Je ne sais pas s'il existe un moyen de représenter les intégrales sur ce forum, donc je noterai :
S[a,b]f(x)dx pour l'intégrale de la fonction f(x) sur l'intervale a, b en fonction de x)

La donnée du problème est :
"Considérons une sphère de rayon R avec une répartition homogène des charges p.
a) Calculez le champ electrique dans TOUT l'espace
b) Calculez le potentiel électrique dans TOUT l'espace"

Dans mon cours, j'ai à chaque fois deux formules différentes possibles, malheureusement, elles ne me donnent pas les même résultats :hein:
Donc, en gros, je vous demanderais juste de me dire si mes intégrales sont justes. Si effectivement elles le sont, alors j'aurai mal compris l'application de ces formules et comme ce problème relève plus de la physique que des math, je me débrouillerai toute seule :lol3:

a)
Mes deux formules sont (avec E le champ, A l'aire d'intégration, r le rayon de l'aire d'intégration et e0 une constante, V le volume d'intégration):

1) S[dV] E(r) dA = 1/e0 * S[V] p dV (Gauss !)
2) E(r) = 1/(4*pi*e0) * S[V] p/r^2 dV

La première formule me donne la bonne réponse avec E1 (pour r R):
E1(r) = r*p/3/e0
E2(r) = R^3*p/3/e0/r^2

Maintenant si j'utilise la seconde formule (je sors p, puis je passe en coordonées sphériques r, b, c):
E1(r) = p/4/pi/e0 * S[0, 2*pi] S[0, r] S[0, pi] 1/r^2 * r^2 * sin(a) dc dr db
= p/2/e0 * S[0, r] S[0, pi] sin(a) dc dr
= p*r/2/e0 S[0, pi] sin(a) dc
= p*r/e0
E2(r) = p*R/e0
... voilà voilà, c'est pas vraiment le résultat attendu :mur:

b)
Mes deux formules sont (avec U12 le potentiel entre 1 et 2):
1) U12 = U2 - U1
2) U(r) = 1/(4*pi*e0) * S[V] p/r dV

La première formule me donne la bonne réponse avec U (pour r R):
U(r) = -p*r^2/6/e0
U'(r) = p*R^3/3/e0/r - p*R^2/2/e0

Et si j'utilise la seconde formule j'obtiens (même résolution qu'au-dessus):
U(r) = U'(r) = -1/2*r^2*p/e0

Encore une fois, ce n'est pas du tout ce qu'on voudrait :hum:

Donc en gros, ai-je des problèmes en math ou en physique ?

Merci d'avance à celui qui s'attaquera à mon ptit souci

[SLA]

Salut!
Déjà, petite remarque sur le vocabulaire: c'est une boule uniformément chargée que tu considères (charge volumique).
Ensuite, je pense que ton erreur provient du fait (dans la deuxième formule) que la densité de chareg est nulle quand r est plus grand que R.
Donc dans ton calcule d'intégrale r va de 0 à R.
Cordialement

[Aubenoire]

Salut !
Alors oui pour le voc désolé je fais mes études en allemand et du coup ma traduction n'était peut-être pas très juste ;)

Ah, effectivement, je n'y avait pas pensé, donc ma seconde formule ne marcherait que pour l'intérieure de la boule. Cela dit, j'ai quand même pas la bonne réponse pour l'intérieure...

Merci !

[SLA]

Salut !
Alors oui pour le voc désolé je fais mes études en allemand et du coup ma traduction n'était peut-être pas très juste

Ah, effectivement, je n'y avait pas pensé, donc ma seconde formule ne marcherait que pour l'intérieure de la boule. Cela dit, j'ai quand même pas la bonne réponse pour l'intérieure...

Merci !

Resalut!
Pas de soucis pour ta traduction, c'était juste une remarque (Ca a une incidence en fait, quand c'est une shpère chargée, le champ electrique est nul à l'intérieur).
Toutefois, après lecture, je suis surpris par cette deuxième formule: E(r) = 1/(4*pi*e0) * S[V] p/r^2 dV.
Outre le fait qu'on ne considère que des champs radiaux (c'est la cas ici) c'est juste un version intégrale de la loi de Coulomb. Or le premier r (dans E(r) )désigne bien la distance à l'origine mais le deuxième (dans S[V] p/r^2 dV= désigne en fait la distance entre les point de la boule et le point en lequel tu calcules ton champ).
Donc: es-tu sûr de cette deuxième formule?
Cordialement

[Aubenoire]

Alors en tout cas, c'est exactement la formule dans mon cours x) Après, peut-être qu'elle ne s'utilise que dans certaines situations. Elle est introduite comme ça (désolé pour la traduction approximative^^) :

"Nous avons introduit la charge volumique p comme la charge par unité de volume, donc dq = pdV. Pour des corps étendus avec une charge volumique p, nous pouvons utiliser le principe de superposition et écrire le champ électrique comme :
...[formule]
Une propriété pratique de cette équation est que le champ électrique d'une charge volumique continue converge tout le temps, aussi longtemps que la charge volumique est finie."

hum hum je sais pas trop si ça peut aider^^
Au pire je retiens seulement qu'il faut utiliser la première formule x)

[SLA]

Alors en tout cas, c'est exactement la formule dans mon cours x) Après, peut-être qu'elle ne s'utilise que dans certaines situations. Elle est introduite comme ça (désolé pour la traduction approximative^^) :

"Nous avons introduit la charge volumique p comme la charge par unité de volume, donc dq = pdV. Pour des corps étendus avec une charge volumique p, nous pouvons utiliser le principe de superposition et écrire le champ électrique comme :
...[formule]
Une propriété pratique de cette équation est que le champ électrique d'une charge volumique continue converge tout le temps, aussi longtemps que la charge volumique est finie."

hum hum je sais pas trop si ça peut aider^^
Au pire je retiens seulement qu'il faut utiliser la première formule x)

Hum... Je pense que mon prof de physique de spé bondirait en lisant ça. Il ne faut pas oublier que le champ électrique est un vecteur avant tout.
La formule de base dont il est fait référence est

quand on calcule le champ au point M avec une charge en M'. Note que si M' est l'origine alors tu retombes sur ce que tu as jusque là.
En utilisant le principe de superposition, on tombe sur:

quand la charge est volumique (c'est un peu différent quand la charge est surfacique).

De toutes façon, cette formule n'est JAMAIS (disons rarement utilisée) en pratique. C'est le théorème de Gauss qu'il faut employer.
Cordialement