Un gamin brillant de 1er S

[Alphonso_de_las_vegas]

Bonjour,

Je suis prof de soutien en maths et aujourd'hui j'ai eu affaire à un élève vraiment solide. Il a 19 de moyenne en maths (en 1er S) et surement le même dans les autres matières. Vous vous demandez surement pourquoi il veut des cours de maths .... bon son papa veut le préparer au mieux au supérieur.

Le gamin aime vraiment les maths, il a des idées et tout ! C'était vraiment agréable ! Bref, je dois le voir toutes les semaines et je me demande comment gérer ?

Quand même, je vous donne le début du cours. Alors, il me dit j'ai eu un bac blanc (en 1erS ?) et il y a une question que je sais pas faire. Ok ...

Calculer 1²-2²+3²-4²+...+2013²-2014² ?

Bien, le ton est donné ! Alors, je lui propose de calculer quelques termes de la suite sous-jacente ... et on conjecture une formule ... Après je trouve le bonne angle d'attaque. Bon la dessus j'enchaîne sur un exo pour trouver 1²+2²+... + n², un peu long niveau calcul mais il ne fait qu'une seul petite erreur et me sort une suite télescopique, pfiou même certain élève de prépa n'y arrive pas ... et en défis je lui dit de trouver 1^k+2^k+...n^k pour k=3 puis k quelconque ... on verra ! Ok c'est un peu brutal ...

Donc je me demande comment gérer, il a des facultés mais avec le savoir de 1er S, c'est complexe !

Est-ce que je dois plutôt lui faire un peu de théorie appliqué ... style, je l'embarque dans les séries ou les matrices ou la théorie des ensembles, ou le calcul intégral avec un style pseudo rigoureux pour aller vite sur la théorie, ou je dois plutôt faire des exos dur de 1er S, m'enfin c'est très dur avec les outils dont il dispose.

Par exemple, il a absorber le principe de récurrence en 5 minutes ! Je pense que c'est un éponge et qu'il peut absorber rapidos plein de truc ! Perso, j'aurais kiffer grave, une mec qui m'apprend plein de nouveauté a son âge !

Amicalement

Alphonso_de_las_vegas,

[Robic]

Wah le veinard ! :zen:

De temps en temps, il m'arrive de construire des problèmes compliqués pour un niveau « terminale renforcé », mais juste pour le plaisir, parce que ça ne me servira jamais. Mais pour la 1ère, je n'ai pas.

Quelque chose que j'imaginerais bien pour ce genre d'élève, c'est de l'initier à la programmation sur ordinateur. En prépa, ils font de la programmation en Python si j'ai bien compris (je crois que ça a changé cette année). La programmation est une activité proche des maths et permet de rendre concrètes les maths (de faire des expérience, des observations, etc. comme on le fait en physique ou en chimie). On peut par exemple programmer la méthode de résolution de f(x)=0 par dichotomie ou par Newton.

Sinon, un truc ambitieux : calculer les décimales de Pi (c'est un de mes problèmes compliqués...) Il va falloir faire des choses hors-programme mais faisons-les de façon non-rigoureuse, juste dans le but de se familiariser avec certaines notions. Par exemple, s'il a déjà un peu bricolé avec la calculatrice, il est familier de l'arc sinus ou de l'arc cosinus.

1) Parler de la notion de fonction réciproque et, justement, l'appliquer sur l'arc sinus, l'arc cosinus et l'arc tangente. Le but est de retrouver que la dérivée de l'arc tangente est x-->1/(1+x²) graphiquement. On rappelle que la dérivée est le coefficient directeur de la tangente en la courbe, on montre que la courbe de la réciproque est symétrique par rapport à la première bissectrice, ça donne directement la formule (delta_y/delta_x = tan' = 1+tan² donc pour la réciproque on utilise delta_x/delta_y = 1/(1+tan²), etc.)

2) Montrer qu'on peut effectuer des divisions euclidiennes de polynômes, puis effectuer 1 par 1+x² suivant les puissances croissantes, et justifier plus ou moins intuitivement qu'on obtient une somme de termes de plus en plus petits, donc que chaque somme partielle est une approximation de 1/(1+x²).

3) Parler de la notion de primitive, qui est en quelque sorte la réciproque de la dérivée. Par exemple 1/(1+x²) a pour primitive l'arc tangente. Du coup, on se doute intuitivement que si on "primitive" le développement en série obtenue par la division précédente, on obtiendra un développement en série de l'arc tangente.

4) On l'applique pour x=pi/4 : on obtient la formule de Gregory.

5) Ensuite, on programme la formule de Gregory et on constate qu'elle converge plutôt lentement...

6) Il faut donc montrer comment on peut l'améliorer : utiliser les formules de Machin. Voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_Machin . Ça suppose de connaître quelques formules trigo (à savoir démontrer), et justement c'est quelque chose qui sera très utile pour la suite de ses études sans piétiner sur le programme (les formules trigo ne sont plus vues au lycée, elles sont donc balancées en 1ère année rapidement, du coup ça peut être utile de les avoir déjà utilisées avant).

7) On finit par la programmation d'une formule plus efficace...

[Alphonso_de_las_vegas]

Salut,

J'aime bien ton exemple. Mais tout ceci va être assez long, mais je vais m'en servir je pense.

Je pense que je vais parler rapidement de calcul intégral, avec l'exemple de la parabole y=x^2 ... ce qui permettra de motiver le calcul des somme 1²+2²+... n², et je pense que je vais parler aussi de la notion de primitive (qui rend de grand service dans ce genre de problème).

Par contre, pour le calcul de pi, comme je n'y connais pas grand chose. Je vais d'abord apprendre ce que tu me dis et ensuite je vais voir.

Mais j'aime bien ton projet !

Merci

[Joker62]

Apprends lui aussi à être extrêmement rigoureux.

Le <=>, la différence entre courbe et fonction, une suite est-elle bien définie par récurrence avec la notion d'intervalle stable, construit les nouvelles fonctions exp et log avec théorème des valeurs intermédiaires.

Fais de la TS en fait :)

[Robic]

En fait mon point de vue était plutôt opposé : le rendre familier de notions qu'il verra rigoureusement plus tard : ça pourrait l'aider à mieux les comprendre.

En fait je pense un peu à moi - mais je suis sûr d'être loin d'être le seul: quand j'ai eu une calculatrice, j'ai vite compris ce qu'étaient les fonctions "cos^-1", "sin^-1" ou la fonction "log" en m'amusant avec (mais pas "ln" bien sûr). Je suis persuadé que ça m'a aidé. Un autre exemple, c'est qu'à mon époque (bac C), on faisait de l'algèbre linéaire appliqué à la géométrie, et je suis persuadé que ça m'a aidé à mieux me représenter les notions de l'algèbre linéaire (noyau, image, etc.) vues ensuite. Ça m'en a construit une image mentale, en quelque sorte. Bref, l'idée pour l'élève d'Alphonso était de lui donner l'intuition de notions qu'il verra plus tard de façon rigoureuse. C'est un peu ce qui s'est passé dans l'histoire des sciences : d'abord on a bricolé avec de nouvelles notions, et seulement ensuite, une fois que grâce à ce bricolage on s'était familiarisé avec elles, on les a construites de façon rigoureuse.

Tiens, ça me fait penser aux nombres complexes, du coup ça me donne une autre idée pour l'élève d'Alphonso : une initiation aux nombres complexes.

1) Lui demander de calculer la racine carrée de -1. Bien sûr il va protester : ça n'existe pas !
2) Mais supposons que ça existe quand même. Tiens, on va l'appeler i. Donc i²=-1. Que pourrait-on en déduire ? Peut-on calculer la (ou les) racine(s) carrée(s) de -9 ? (Il va peut-être penser à en déduire qu'alors (-i)²=1, (3i)²=9 et (-3i)²=9.
3) Comme il a vu la résolution de ax²+bx+c=0 en fonction du discriminant, lui demander ce que ça donnerait dans le cas où le discriminant est négatif ?
4) Et maintenant on peut lâcher le morceau et définir les nombres complexes, mais sans aller plus loin que juste résoudre des équations ax²+bx+c=0 (pour rester dans le programme de 1ère) : il ne s'agit pas de voir tout le programme de l'an prochain.
5) S'il est vraiment si fort, on peut peut-être même aborder le cas où les coefficients a, b, c sont complexes...

[chombier]

En fait mon point de vue était plutôt opposé : le rendre familier de notions qu'il verra rigoureusement plus tard : ça pourrait l'aider à mieux les comprendre.

En fait je pense un peu à moi - mais je suis sûr d'être loin d'être le seul: quand j'ai eu une calculatrice, j'ai vite compris ce qu'étaient les fonctions "cos^-1", "sin^-1" ou la fonction "log" en m'amusant avec (mais pas "ln" bien sûr). Je suis persuadé que ça m'a aidé. Un autre exemple, c'est qu'à mon époque (bac C), on faisait de l'algèbre linéaire appliqué à la géométrie, et je suis persuadé que ça m'a aidé à mieux me représenter les notions de l'algèbre linéaire (noyau, image, etc.) vues ensuite. Ça m'en a construit une image mentale, en quelque sorte. Bref, l'idée pour l'élève d'Alphonso était de lui donner l'intuition de notions qu'il verra plus tard de façon rigoureuse. C'est un peu ce qui s'est passé dans l'histoire des sciences : d'abord on a bricolé avec de nouvelles notions, et seulement ensuite, une fois que grâce à ce bricolage on s'était familiarisé avec elles, on les a construites de façon rigoureuse.

Tiens, ça me fait penser aux nombres complexes, du coup ça me donne une autre idée pour l'élève d'Alphonso : une initiation aux nombres complexes.

1) Lui demander de calculer la racine carrée de -1. Bien sûr il va protester : ça n'existe pas !
2) Mais supposons que ça existe quand même. Tiens, on va l'appeler i. Donc i²=-1. Que pourrait-on en déduire ? Peut-on calculer la (ou les) racine(s) carrée(s) de -9 ? (Il va peut-être penser à en déduire qu'alors (-i)²=1, (3i)²=9 et (-3i)²=9.
3) Comme il a vu la résolution de ax²+bx+c=0 en fonction du discriminant, lui demander ce que ça donnerait dans le cas où le discriminant est négatif ?
4) Et maintenant on peut lâcher le morceau et définir les nombres complexes, mais sans aller plus loin que juste résoudre des équations ax²+bx+c=0 (pour rester dans le programme de 1ère) : il ne s'agit pas de voir tout le programme de l'an prochain.
5) S'il est vraiment si fort, on peut peut-être même aborder le cas où les coefficients a, b, c sont complexes...

Je t'invite a acheter d'occase un livre de 1ereS des années 80. Avec le même bagage ils faisaient des exercices bien plus durs !

Un exemple : (Exercices Vuibert, A.Comber et D.Bargues)]
Résoudre l'equation :

Un autre : résoudre et discuter l'equation suivante :

[Rha]

1) Lui demander de calculer la racine carrée de -1. Bien sûr il va protester : ça n'existe pas !
2) Mais supposons que ça existe quand même. Tiens, on va l'appeler i. Donc i²=-1. Que pourrait-on en déduire ? Peut-on calculer la (ou les) racine(s) carrée(s) de -9 ? (Il va peut-être penser à en déduire qu'alors (-i)²=1, (3i)²=9 et (-3i)²=9.
3) Comme il a vu la résolution de ax²+bx+c=0 en fonction du discriminant, lui demander ce que ça donnerait dans le cas où le discriminant est négatif ?
4) Et maintenant on peut lâcher le morceau et définir les nombres complexes, mais sans aller plus loin que juste résoudre des équations ax²+bx+c=0 (pour rester dans le programme de 1ère) : il ne s'agit pas de voir tout le programme de l'an prochain.
5) S'il est vraiment si fort, on peut peut-être même aborder le cas où les coefficients a, b, c sont complexes...

On peut aussi lui demander de supposer que est pair et voir ce qu'on peut en déduire...
Je comprends l'intérêt de la démarche, seulement il est perdu si est introduit à la "fais-moi confiance, en fait ça existe", alors qu'il sait que le carré d'un nombre est positif.
Il y a fort à parier que les complexes seront introduits l'année suivante sans plus d'explications que " et "; ce qui soulève en général des questions des élèves:
-d'où ça sort?
-ce sont des nombres?
-pourquoi est-ce qu'on se contredit par rapport à l'année dernière?
-à quoi ça sert de factoriser les polynômes avec ces machins?
-etc...

Enfin voilà, quitte à évoquer les complexes, mieux vaut à mon avis donner les outils pour comprendre ce qu'ils sont, de toute façon le reste sera abordé en terminale.

[Robic]

Chombier : oui mais pas avec des nombres complexes (ah les équations avec paramètre m, on en faisait déjà en seconde !)

Rha : mais justement, l'idée était de donner des réponses à ces questions ! En suivant la démarche historique, on se replace dans contexte de l'époque qui était de résoudre des équations. Mais c'est vrai que, dans ce cas là, il faudrait avoir comme but la résolution d'une équation du 3è degré. Ça compléterait celle du 2è vue en classe. Avec ce point de vue, les nombres imaginaires sont vus comme une astuce pratique pour résoudre des équations, mais qui ont les mêmes propriétés que les nombres rées (on peut les multiplier, etc. et avec les mêmes règles). Du coup pourquoi ne pas les considérer comme des nombres à part entière ? Ou pas ? En tout cas ça mérite réflexion, donc ça n'a pas l'air tombé du ciel comme la première fois où c'est abordé en terminale.

On peut aussi lui demander de supposer que 1 est pair

1 n'est pas pair, donc ça n'a aucun rapport.

[Joker62]

Personnellement,

je trouve que l'introduction des nombres complexes par une vision géométrique est beaucoup plus propre.

Quel sens donner à l'addition de deux points du plan ?
Et à la multiplication de deux points ? (Bon là faut dire : On définit le produit de deux points par la rotation blablabla)
Partir sur les coordonnées polaires : le module et l'argument tombent naturellement
On reprend la trigo de première S

On comprend pourquoi (0;1)*(0;1) = (-1;0) et tout et tout

[chombier]

Après réflexion, tu peux aussi lui apprendre ce qui manque si cruellement actuellement : injections, surjections, bijections ; qu'est-ce qu'un opérateur commutatif, associatif, qu'est-ce qu'un élément neutre, qu'est-ce qu'une relation réflexive, symétrique, anti-symétrique...

[Rha]

Oui, je vois.

Je critique principalement le fait de supposer qu'il existe une racine carrée de et de la mettre avec les réels pour voir comment on peut calculer avec.
Bien sûr, dans l'enseignement des mathématiques il y a une grande part de confiance ou de crédulité de la part de l'élève qui doit apprendre ce qui a été construit par les autres.
Mais là, quelle est la différence (du point de vue d'un élève de première) entre le fait de dire " possède une racine carrée" et celui de dire " est pair"?


Après c'est peut-être une bonne idée de découvrir ça dans un cadre un peu libre, un peu comme si on se mettait à la place de quelqu'un qui veut inventer les complexes; je sais pas.

[Robic]

Rha : il ne s'agit pas de dire « bon, on va appeler i une racine carrée de -1 et crois-moi, elle existe » mais quelque chose comme « soyons fou, imaginons qu'il existe un truc dont le carré serait -1, bien sûr ce truc n'est pas un nombre, mais imaginons qu'il existe d'une façon ou d'une autre et voyons ce qu'on peut tirer de cette hypothèse... oui, un peu comme lorsqu'on fait une démonstration par l'absurde ». On ne peut pas faire ça avec « 1 est pair » puisque 1 est impair.

Après c'est peut-être une bonne idée de découvrir ça dans un cadre un peu libre, un peu comme si on se mettait à la place de quelqu'un qui veut inventer les complexes; je sais pas.

Oui, c'est tout à fait ça que j'avais en tête. Mes exemples sont peut-être maladroits, mais ce n'est pas l'essentiel de ce que je voulais exprimer, l'essentiel était l'esprit, que tu as bien résumé ! Il faut bien se dire que ça ne sert à rien de lui apprendre le programme de terminale, parce qu'alors il va s'ennuyer l'an prochain ! Donc il faut faire quelque chose de différent, d'où l'idée de voir des choses de façon intuitive avant de les voir l'an prochain de façon rigoureuse. Et puis pour quelqu'un qui aime vraiment les maths, je pense que ce sera plus stimulant de les réinventer, et donc de se les approprier, que de faire juste un cours classique.

(Par contre le programme de Chombier me fait peur. Ça m'a l'air très rébarbatif... d'un autre côté c'est vrai que ça sera utile plus tard... oui mais c'est rébarbatif... :lol3: )

[Rha]

Oui, tu as raison.
Tout doit dépendre du tempérament de l'élève en fait. Perso j'aurais adoré qu'on me définisse les complexes comme dans un cours de L1 ou de MPSI, et je ne comprenais pas trop ce qu'était un nombre, une loi, la signification de "rajouter un élément i de carré moins un".
Ce n'est sûrement pas une bonne idée de considérer que les élèves sont comme on était avant ^^

[chombier]

Rha : il ne s'agit pas de dire « bon, on va appeler i une racine carrée de -1 et crois-moi, elle existe » mais quelque chose comme « soyons fou, imaginons qu'il existe un truc dont le carré serait -1, bien sûr ce truc n'est pas un nombre, mais imaginons qu'il existe d'une façon ou d'une autre et voyons ce qu'on peut tirer de cette hypothèse... oui, un peu comme lorsqu'on fait une démonstration par l'absurde ». On ne peut pas faire ça avec « 1 est pair » puisque 1 est impair.

(Par contre le programme de Chombier me fait peur. Ça m'a l'air très rébarbatif... d'un autre côté c'est vrai que ça sera utile plus tard... oui mais c'est rébarbatif... :lol3: )

C'est avec cette démarche (démontrons par l'absurde que...) que les géométries non euclidiennes ont été découvertes (ou inventées, c'est dur de faire la différence en mathématiques !). Car E est un corps commutatif, situe quelque part entre Q et R, et ça c'est chouette !

On peut même préparer le terrain de façon ludique, que se passe-t-il par exemple si on "ajoute" racine de 2 a l'ensemble des rationnels ?

Ça "donne" l'ensemble .

Et de se demander ce qu'on voulait conserver : les règles dites "usuelles" que sont la commutativité, la distributivité, l'existence d'inverser (et enchaîner si ça prends bien sur les groupes, anneaux corps).

Personnellement j'ai l'intention de préparer l'introduction les complexes en présentant cet ensemble E, car il se trouve qu'il a énormément de point communs avec les complexes (partie rationnelle, partie irrationnelle, nombre conjugué, preuve de l'unicité de l'écriture (a+b racine de 2) sont quasiment identiques).

[Robic]

J'imagine : « Aujourd'hui nous allons commencer un nouveau chapitre : les nombres complexes. Chargez le texte du chapitre précédent dans votre traitement de texte préféré et remplacez tous les "2" par des "-1". Voilà, le nouveau chapitre est fini ! »... :lol3:

[chombier]

J'imagine : « Aujourd'hui nous allons commencer un nouveau chapitre : les nombres complexes. Chargez le texte du chapitre précédent dans votre traitement de texte préféré et remplacez tous les "2" par des "-1". Voilà, le nouveau chapitre est fini ! »... :lol3:

Exactement ! On remplace les racine de 2 par des i et les 2 par des -1

Ça amènera aussi quelques preuves faciles mais intéressante, que racine de 2-1 n'est pas rationnel, par exemple.

Je ne sais pas si ça marchera, mais l'idée me plait, et au pire c'est une heure de perdue.

De toutes façons, je trouve ça mieux que de parler des équations de Cardan, mieux que de juste dire "i^2=-1 et puis c'est tout". Je préfèrerais parle;) du corps R^2 qui est isomorphe à C, ou introduire C avec des matrices, mais ça ce n'est pas possible...

[Alphonso_de_las_vegas]

Bonsoir,

Beaucoup d'idées ! Alors perso, j'ai pas envie de le parasiter non plus i.e lui donner des idées qu'il voudra mettre en oeuvre et que son prof n'acceptera pas ! Le problème c'est qu'il n'y a pas beaucoup de substance pour travailler et en plus j'ai tendance à me remettre a son âge et a essayer de me souvenir de ce qui me motivais , ce qui n'est pas forcément bon !

Mais j'avoue que je partage l'idée de Robic dans l'ensemble. Néanmoins le formalisme est aussi important ! L'idée étant qu'il arrive à absorber le programme de 1er année de classe prépa et se développe tout seul ! C'est le but que son Papa veut ! Et comme je suis payé pour cela, je dois pas faire n'imps :p

pfiou c'est dur, les bons élèves :ptdr: !

[Robic]

Ah, il faut obligatoirement faire des choses de 1ère année de prépa ? S'il a vu en cours l'étude des fonctions (dérivées, limites, tableaux de variations, graphe de la fonction), tu pourrais traiter des courbes paramétrées, qui en sont un peu la suite. Ce qui est motivant, c'est qu'il y a de jolies courbes à découvrir : au début on ne sait pas du tout à quoi la courbe va ressembler, et une fois le tableau fini, on trace le machin et oh ! une belle rosace ! (Exemple : http://www.mathcurve.com/courbes2d/trefle/trefle.shtml .)

(Cela dit, je me demande si c'est encore au programme : il me semble que depuis cette année, ils ont supprimé de la géométrie - pour mettre des probas bien sûr)

[Sylviel]

Je suis assez pour l'idée de Robic : c'est fun, ça fait faire de la reflexion abstraite et ça permet d'introduire C (ce qui est quand même vachement drôle). Tu peux enchaîner en parlant des matrices (juste les calculs) ce qui est utile pour la suite aussi, puis tu pourras définir C à partir des matrices
et montrer comment les choses s'entremêlent...

En parrallèle travailler l'écriture avec quantificateur de toutes les définitions qu'il voit / a vu (limite de suite, de fonction...) et enseigner leur négation me parait une bonne chose.

That was my 2 penny !

[adrien69]

Bande d'algébristes...
Vous ne voulez pas, tant que vous y êtes, introduire la notion d'extension de corps ?
Franchement, en prépa les complexes ça vaut peanuts. Toute l'analyse est réelle, toute la géométrie est réelle. On n'utilise guère les complexes que pour faire joujou la première semaine et pour avoir le formidable outil qu'est l'exponentielle complexe.
De mon point de vue la première chose à faire comprendre c'est la différence fondamentale entre courbe et fonction/application. Après quoi faire des mathématiques devient bien plus facile. On peut alors commencer à différencier les objets (polynômes-fonctions), assimiler la quantification (non ça ne se voit pas sur le dessin), et peut-être commencer à faire des vraies maths, que ce soit de l'analyse, de l'algèbre de la géométrie ou autre.