Galère sur un exo de Transformée de Laplace

[Maths2022]

Bonsoir,
je suis en galère sur un exercice concernant la transformée de Laplace. Je précise que je suis en 2ème année de BTS Electrotech.

Voici l'énoncé:

Equation différentielle: y' + y = cos(2t) U(t) avec U(t) = 1 si t supérieur ou égal à 0, sinon, U(t) = 0.
De plus, L(p) = Y(p) et y(0) = 0.

Calculer Y(p) et trouver l'original de y (en gros, trouver y(t)).

Alors, j'ai trouvé Y(p) = p/((p²+4)(p+1)).

Afin de trouver y(t), je décompose Y(p) en éléments simples, et je trouve: (a/(p²+4)) + (b/(p+1)).

En mettant tout au même dénominateur et en voyant que ce dernier s'annule, je trouve: ap + a + bp² + 4b = p.

Alors, en procédant par identification, je trouve ap = p et a + bp² + 4b = 0.

Et là, je bloque pour trouver b.

Serait-il possible de m'aider ?

Sinon, j'ai fini par choisir la solution de facilité en allant sur un calculateur de transformée de Laplace, et ça me donne (pour p/((p²+4)(p+1)):

(2sin(2t) + cos(2t) - e^-t)/5. J'ai beau me triturer les méninges; je n'arrive pas à savoir comment faire pour retrouver cette solution. J'ai regardé le tableau des transformées, etc, rien ne me vient en tête.

[Rdvn]

Bonsoir
je n'ai pas du tout vérifié votre y(p) , mais si il est juste , la décomposition en éléments simples c'est
y(p) = (ap+c) / (p^2+4) + b / (p+1)
Proposez vos essais

[Maths2022]

Merci pour votre réponse:

Mes essais ?

J'ai fait la décomposition en éléments simples comme je l'ai dit, en effectuant diverses manips, j'en suis arrivé à a = 1 et b = 0, b = -1/4 et b = une valeur en fonction de p². J'ai tsté ces valeurs avec l'équation: je ne trouve pas le résultat souhaité (à savoir p).

D'ailleurs, pourquoi ap+c et b au numérateur, et non a et b ?

[Maths2022]

Je suis en train de tester votre solution:
je trouve a = 1, b = -1/5 et c = 0.

[Rdvn]

Quand je disais "proposez vos essais" je voulais dire :
à recommencer à partir de ce que je viens de corriger.

ce qui est un résultat à connaitre sur la décomposition en éléments simples
( en observant : p^2+4 n'a pas de racine réelle)

Voyez sur internet "décomposition en éléments simples"
A vous...

[Maths2022]

Ok, merci, je pense entrevoir un début de solution.

[Rdvn]

Sur votre deuxième essai (il y a des erreurs)
la réduction au même dénominateur nous donne :
p = (ap+c).(p+1) + b(p^2+4)
A vous

[Maths2022]

Oui, j'ai rectifié.

Ca donne: p = p²(a+b) + p(a+c) + c + 4b.

En procédant par identificaion: a+c = 1; donc a = 1-c.
a+b+c+4b = 0; 1-c+b+c+4b = 0; les c s'annulent et je trouve b = -1/5.
c = 0, du coup a = 1.

Ce qui donne: (p/(p²+4)) - (1/5(p+1)).

Comme solution originale, je trouve: y(t) = cos(2t) - (e^-t/5).

[Maths2022]

Je dois encore modifier des choses; mais on se rapproche tout doucement de la solution trouvée sur mon calculateur.

[Rdvn]

La première ligne va

mais
p = 0(p^2)+1(p)+0

donc
a+b=0
a+c=1
c+4b=0

A vous

[Maths2022]

Oh purée, je ne sais pas compter ce soir, je pars en vrille ou quoi ?

Merci beaucoup sinon.

Ah non, je n'ai juste pas scindé les termes en 0.

[Maths2022]

Je truve:

a = 1/5.
b = -1/5.
c = 4/5.

Je suis tombé (enfin !) sur l'expression escomptée.

Merci beaucoup pour votre aide encore !

[Rdvn]

OK