Frontière d'une surface

[Wenneguen]

Bonjour,

je suis tombé sur un exercice dont la correction disait :

La frontière de la surface d'équations est le cercle d'équations .

Si on parle de la frontière au sens topologique, la frontière de cette surface est la surface elle-même, non ? (Et c'est même le cas pour n'importe quelle surface ?)

Merci de vos remarques :we:

[zygomatique]

oui ...

dans l'espace une surface fermée bornée est sa propre frontière .... sauf que ta surface est une demi-sphère ... qui a donc un bord .... qui est sa frontière ....

[Wenneguen]

oui ...

dans l'espace une surface fermée bornée est sa propre frontière .... sauf que ta surface est une demi-sphère ... qui a donc un bord .... qui est sa frontière ....

Pourtant une demi-sphère est une surface fermée bornée, non ?

[zygomatique]

la sphère, le tore sont des surfaces fermées ...

mais si tu les coupes en deux ....

[Ben314]

Salut,
Je ne sais pas dans quel contexte tu veut utiliser le truc en question (ça "sent" le Théorème de Stokes...), mais ce qu'il y a de sur, c'est que le terme de "frontière" est mal choisi vu qu'il ne s'agit pas du tout de la notion de frontière au sens topologie du terme (adhérence privé de l'intérieur).

Pour un truc de cet acabit, on parle plutôt du "bord" de l'ensemble en question, qui est une notion issue de la géométrie différentielle (variétés différentielles "à bord").

[Wenneguen]

la sphère, le tore sont des surfaces fermées ...

mais si tu les coupes en deux ....

Telle que je la définie les équations (inégalité au sens large et non strictes) la demi sphère est bien fermée.

Salut,
Je ne sais pas dans quel contexte tu veut utiliser le truc en question (ça "sent" le Théorème de Stokes...), mais ce qu'il y a de sur, c'est que le terme de "frontière" est mal choisi vu qu'il ne s'agit pas du tout de la notion de frontière au sens topologie du terme (adhérence privé de l'intérieur).

Pour un truc de cet acabit, on parle plutôt du "bord" de l'ensemble en question, qui est une notion issue de la géométrie différentielle (variétés différentielles "à bord").

C'est exactement ça, et je suis d'accord que le terme de frontière est mal choisi. Tu aurais une définition précise du bord ? Je ne trouve pas :hein: (j'y connais rien en variété différentielle par contre)

[Ben314]

Si tu n'a pas vu ce qu'est une variété différentielle, je ne sais pas si ça va t'être super utile vu que les définitions "basiques" ne sont pas totalement "triviale".

Pour essayer de rester dans du pas trop compliqué, une variété de dimension 2 contenue dans R^3, c'est une une partie M de R^3 telle que, quelque soit le point xo de M, il y ait un voisinage V de xo (dans R^3) tel que l'intersection de V avec M puisse être paramétré (de façon bijective et "régulière") par une fonction dont l'ensemble de départ est un disque ouvert de R^2.
Intuitivement parlant, ça veut dire que ton truc est une surface de R^3, mais tu n'a pas forcément une "bonne" paramétrisation globale de ta surface (par exemple, la paramétrisation usuelle de la sphère de R^3 avec les coordonnées sphériques n'est clairement pas "bonne" pour regarder ce qu'il se passe au voisinage du pôle nord et du pôle sud).
Avec cette définition là, la sphère de R^3 est une variété (de dim 2).
Si tu prend la "demi sphère ouverte", c'est a dire les points de la sphère tels que z>0, c'est aussi une variété.
Par contre, la "demi sphère fermée", c'est a dire les points de la sphère tels que z>=0, n'est pas une variété vu qu'on ne peut pas paramétrer les voisinages d'un point tel que z=0 a l'aide d'un disque ouvert de R^2.
C'est là qu'intervient la notion de "variété à bord" où on accepte que, pour certain points de la variété (le "bord" de la variété en fait), la paramétrisation ne se fasse pas en partant d'un disque ouvert de R^2, mais d'un "demi disque" "ouvert" sur la circonférence mais "fermé" sur le diamètre.

Sinon, en y réfléchissant un peu plus, au peut aussi voir ton truc comme une vrai "frontière" au sens topologique du terme, mais il ne faut pas regarder ton ensemble comme une partie de l'espace topologique R^3, mais comme une partie de l'espace topologique S^2 (la sphère de R^3) et dans ce cas, la frontière (=adhérence-intérieur) de ta demi sphère, c'est bien le cercle.