Fourier+ produit de convolution

[zaidoun]

Bonsoir,

Soit la fonction: H(x)= cos(x) si -/pi/2< x < /pi/2 et 0 si non,

et K:= H*H*H*H...*H c'est le produit de convolution avec 2M facteurs ( M>= 1).

Soient h et k leurs transformés de Fourier respectivement (k= h^{2M}),

Quelqu'un peut m'expliquer ces majorations:

1) k(t) <= C/ (1+t^2)^{2M} pour tout réel t.

2) Fixons un réel r tel que k(t) >= 1 dans [-r,r], il s'ensuit que pour tout réel a fixé il existe une constante c tel que
k(t-a) <= c (1+ b^2)^{-2M} chaque fois que b-1 < t < b+1

Merci d'avance.

[mr_pyer]

Dans le 2) c'est quoi au juste la question ?

Je prends la convention .
On a .
On va montrer que .
. En écrivant cette intégrale se calcule très bien et l'estimation vient toute seule. Bonne chance...

[zaidoun]

Un petit calcul donne que h(t)= 2 cos(\pi t / 2) / (1-t^2), mais je sais pas
pourquoi h(t) <= C / (1+t^2)?????

Pour la 2 ème question , j'ai pas compris ça: " il s'ensuit que pour tout réel a fixé il existe une constante c tel que

k(t-a) <= c (1+ b^2)^{-2M} chaque fois que b-1 < t < b+1"???

Merci d'avance.

[mr_pyer]

Un petit calcul donne que h(t)= 2 cos(\pi t / 2) / (1-t^2), mais je sais pas
pourquoi h(t) <= C / (1+t^2)?????

C'est presque bon :
Si est assez grand d'accord ?
Essaye de montrer que est continue en et tu pourras conclure.

Pour la question 2) je n'ai pas l'impression que tu l'aies bien recopié. Que vient faire le r dans l'histoire ?

[zaidoun]

franchement je n'ai pas pu montrer cette majoration , et de plus pourquoi on travaille uniquement avec les réels qui sont grands?
oui c'est clair que h est continue sur R

2) Pour la deuxième question: le r vient d'ici: Fixons un réel r tel que k(t) >= 1 dans [-r,r],

Après, pourquoi on a ça :

" il s'ensuit que pour tout réel a fixé il existe une constante c tel que
k(t-a) <= c (1+ b^2)^{-2M} chaque fois que b-1 < t < b+1"???

[mr_pyer]

Commençons par montrer la majoration pour assez grand : .

Premièrement quand . Donc il existe tel que entraîne (le 3 est un ).

Ensuite tu as réussi à montrer que la fonction est continue donc l'est aussi. Cette dernière est donc bornée sur l'ensemble .

À toi de bien choisir maintenant...

[zaidoun]

Ok merci beaucoup.

Pour la 2ème question, t'as une idée?

[mr_pyer]

Pour le 2)
[quote="zaidoun"]
Fixons un réel r tel que k(t) >= 1 dans [-r,r], il s'ensuit que pour tout réel a fixé il existe une constante c tel que
k(t-a) = 1 dans [-r,r], il s'ensuit que" l'inégalité ne m'a pas l'air très difficile à montrer.
Essaye par exemple de la montrer avec ...

[zaidoun]

ok merci beaucoup.