Fourier dans L2(R)

[silent_james]

Bonsoir à tous,
Juste une petite question,
si une fonction f est dans L1(R), sa transformée de Fourier est bien définie.
Mais comment définie-t-on la transformée de Fourier dans L2(R) ?

[tize]

Bonsoir,
on se sert du fait que est -dense dans .

[silent_james]

Désolé Tize, je n'ai pas compris du tout, tu pourrais pas me dire plus simplement ? En fait, c'est assez frais dans ma tête...
Merci

[tize]

Salut,
En fait si alors la transformée de Fourier de est bien définie.
Le truc est de montrer que est -dense dans c'est à dire que l'on peut approcher toute fonction par une suite de fonctions dont les transformées de Fourier sont bien définies.
En travaillant un peu, on peut montrer que pour toute fonction , on a , on a même et est -dense dans .
On peut alors étendre la transformée de Fourier à tout , si alors on prend une suite telle que , est bien définie, appartient à . Puisque converge c'est une suite de Cauchy dans , puisque est une isométrie de dans est alors aussi une suite de Cauchy dans qui est complet, converge donc vers une fonction de que l'on note et que l'on définie comme étant la transformée de Fourier de .