Formules de changement de base applications lineaires

[radia45]

Bonjour
J'ai un gros problème je ne comprends pas du tout comment sont obtenues les formules de changement de base, les matrices de passage....J'ai cherche des démos sur le net mais rien je ne comprends toujours pas pourquoi on ecrit M'=Q;)¹MP au lieu de M'=P;)¹MQ
Vu que j'ai colle dessus(matrices et systemes lineaires) mardi c'est vraiment grave! :cry:

[emdro]

Bonjour,

Si tu considères une application linéaire f qui va de E dans F avec dim(E)=p et dim(F)=n,
*quel est le format des matrices M et M'?
*quel est le format de P?
*quel est le format de Q?

Normalement ta réponse va invalider l'écriture M'=P;)¹MQ que tu aurais souhaitée.

Restera à comprendre pourquoi c'est bien M'=Q;)¹MP, mais on verra après...

[radia45]

j'arrive même pas à voir quel doit etre le format de M M' Pet Q...
Si les ei sont les vecteurs de la base de E on a sur la matrice M en colonne les f(ei) et en ligne les ei...pour le reste je ne sais pas..je vais revoir mon cours meme s'il ne m'est d'aucune aide!

[emdro]

Je pense que ton cours pourra quand même t'aider un peu...

La matrice de f dans les bases et est bien constituée des vecteurs en j-ème colonne, décomposés sur la base C, c'est-à-dire sur les et non les comme tu le penses.

De ce fait, la matrice de f doit comporter n lignes (autant que de vecteurs dans la base C) et p colonnes (autant que de vecteurs ).

Et les matrices de passage alors?

[radia45]

-P matrice de passage de B à B' =mat(B',B,IdE)
-Q matrice de passade de C à C' =mat(C',C,IdF)
Et c'est pour cela que je pense que M' = PMQ;)¹ .J'obtiens cela car je pense que B'---C' =B'---B---C---C'

[radia45]

finalement j'ai trouvé sur un livre oùils ont utilisé une autre méthode pourquoi c'est Q;)MP et non ce que je pensais (même si j'aimerai toujours savoir pourquoi mon raisonement est faux )

[emdro]

Tu n'as pas précisé les formats des matrices de passage
P est la matrice de passage de B à B'. C'est une matrice p x p.
P est la matrice de passage de C à C'. C'est une matrice n x n.

En général, tu ne pourras pas effectuer le produit: PMQ;)¹ car les formats ne le permettent pas: cela donne du (p x p) (n x p) (n x n).
Dans l'autre sens Q;)¹MP, on obtient pour les formats: (n x n)(n x p) (p x p) cette fois, ça marche, et on obtient bien un format (n x p) au final.

Tu as raison de voir: B'--->C' =B'--->B--->C--->C'. Mais tu as certainement oublié que lorsqu'on écrit , c'est qu'on effectue d'abord puis .

C'est ainsi que B'--->B--->C--->C' se traduira par et non .

Et les produits matriciels sont à faire dans le même ordre que la composition, c'est à dire à l'envers par rapport à ton schéma B'--->B--->C--->C'.

Voilà pourquoi le Q;)¹ précède le P.

[radia45]

Merci j'ai compris mon erreur maintenant :deja je ne prenais pas en compte le format des matrices de passage et j'avais oublié que le produit matriciel est defini comme une composition
Merci encore de votre aide