Formule de Taylor-Lagrange et borne sup

[jonses]

Bonsoir,

J'essaye de faire une exercice où je dois utiliser les formules de Taylor, mais j'ai un peu du mal :

Soit f une fonction de classe qui va de R dans R.
On suppose que f et f'' sont bornées

On note et (leur existence se prouvent par le fait que f et f'' sont bornées)

Maintenant soit .
Soit

-(1) Je dois montrer que
-(2) que est majorée et que si on note sa borne sup, on a

Pour le (1) :
comme f est de classe sur [x-a,x] et dérivable 2 fois sur ]x-a,x[, je pensais utiliser l'égalité de Taylor-lagrange pour f en (x-a) sur l'intervalle [x-a,x] : on disposerait alors de c dans ]x-a,x[ tel que :



De même je pensais utiliser l'égalité de Taylor-Lagrange en (x+a) sur l'intervalle [x,x+a], et on disposerait alors de d dans ]x,x+a[ tel que :



Puis en faisant la différence de ces deux égalités et en manipulant les valeurs absolues, on en arriverait à l'inégalité voulue.
Mais, je doute beaucoup : est-ce que je peux manipuler ainsi les égalités de Taylor ? Je veux dire par là que : est-ce que je peux écrire la formule en (x-a) sur l'intervalle [x-a,x] plutôt qu'en x ?

Pour le (2) :
-Si on a l'inégalité du (1), vu qu'elle est alors vraie pour tout x de R, je pensais conclure qu'alors était un majorant de et que donc

Mais est-ce que je peux affirmer cette assertion ? Si oui est-ce que c'est du fait que a est fixé ? (Je reste le plus prudent possible pour éviter de dire des âneries)

-Enfin (si ce qui est au-dessus est vrai), pour obtenir la dernière inégalité je pensais distinguer deux cas :
Cas où :

j'obtenais après calcul : et vu que c'est valable pour tout a>0, pour j'obtenais l’inégalité demandée sur

Cas où : j'obtenais alors et ce pour tout a>0, et je pensais passer à la limite quand a tend vers pour conclure que et qu'elle vérifie quand même l’inégalité demandée (en supposant M0 non nul, et si M0=0 alors M1=0)

Mais même question, est-ce que ce raisonnement est valable ?

Je sais que c'est très long comme topic, mais comme je reste très prudent (je pense que certains ont déjà lu plusieurs de mes bêtises et âneries), je préfère demander de l'aide pour voir où ça ne va pas (faute de logique, de raisonnement, âneries, etc.).
Si vous êtes arrivés jusqu'ici, je vous dis bravo (surtout que je parie qu'il y a pas mal de bêtises dans ce que j'ai écrit).

(D'avance) je vous remercie infiniment pour votre aide

[Ben314]

Mais, je doute beaucoup : est-ce que je peux manipuler ainsi les égalités de Taylor ? Je veux dire par là que : est-ce que je peux écrire la formule en (x-a) sur l'intervalle [x-a,x] plutôt qu'en x ?

Aucun problème : la formule de taylor peut tout à fait s'écrire "dans les deux sens", c'est à dire sous la forme :
Si a et b sont deux réels tels que sur l'intervalle I de bornes a et b ont ait blablabla alors il existe c strictement entre entre a et b tel que blablabla... (sans hypothèses concernant l'ordre dans lequel sont a et b)

Mais est-ce que je peux affirmer cette assertion ? Si oui est-ce que c'est du fait que a est fixé ? (Je reste le plus prudent possible pour éviter de dire des âneries)

Pas de problème non plus : pour rester prudent (si tu veut), tu peut écrire que :
"Pour tout réel a>0 fixé, le réel Mo/a+M2.a est un majorant de |f'| donc M10 et le tout c'est de trouver pour quel a la quantité Mo/a+M2a est la plus petite possible (pour avoir le meilleur majorant possible).
Et ça, il te suffit d'étudier les variation de la fonction a -> Mo/a+M2.a pour le savoir.

(et je suis "arrivé jusque là..." :zen: )

[jonses]

Merci beaucoup pour ton aide !!!

Pour le 2), je ne suis pas sûr qu'il faille faire aussi compliqué :
Tu sait que M10 et le tout c'est de trouver pour quel a la quantité Mo/a+M2a est la plus petite possible (pour avoir le meilleur majorant possible).
Et ça, il te suffit d'étudier les variation de la fonction a -> Mo/a+M2.a pour le savoir.

J'ai pensé faire une étude de cette fonction, mais je suis arrivé sur le même problème : si est nul ou non