Formule simple et questions

[Archytas]

Salut, je cherche s'il existe une formule simple pour calculer le but étant de programmé la méthode des moindres carrés sur mon pc perso. Si y a pas de formules simples c'est pas grave je pourrais toujours le programmer mais ça enleverait un peu de complexité de mettre directement la formule et je suis déjà tombé plusieurs fois sur cette somme sans parvenir à la simplifier.

En cours on a rapidement survolé cette méthode en TD en se restreignant à des polynômes de degré 2 et en approchant des nuages de 3 points par des polynômes de degré 1. On a pas été plus loin mais notre prof nous a dis que si le sujet nous interessait on aurait pas de mal à généraliser le TD à la méthode générale (en fait c'est assez relatif puisque je bloque déjà sur la première question où il faut que je trouve la somme ci dessus).
C'est très très flou alors désolé si mes questions ne sont pas précises. Premièrement cette méthode vise à approximer un nuage de n points par un polynôme de degré n-2 ou par une droite ? Est-ce qu'elle sert à quelque chose en analyse (par exemple pour approximer une fonction comme avec les polynômes d'interpolation ou de tchebytchev) ?
Voilà, merci d'avance !

[jlb]

salut, je ne suis pas compétent pour t'aider mais tu peux trouver des infos sur wiki " nombres de Bernoulli" ou encore "formule de Faulhaber". Après je ne suis pas sur que cela t'aide!! bon courage.

[Archytas]

salut, je ne suis pas compétent pour t'aider mais tu peux trouver des infos sur wiki " nombres de Bernouilli" ou encore "formule de Faulhaber". Après je ne suis pas sur que cela t'aide!! bon courage.

J'ai l'impression qu'il n'y a pas moyen d'exprimer de manière simple en fonction de k donc pour la formule ça risque d'être dur de l'exprimer directement ! Je verrais si je trouve un moyen simple (: ! Merci jlb, ça m'aide énormémement et ça à l'air vraiment sympa à étudier les polynômes & nombres de bernoulli !

[Sylviel]

[quote]
Premièrement cette méthode vise à approximer un nuage de n points par un polynôme de degré n-2 ou par une droite ? Est-ce qu'elle sert à quelque chose en analyse (par exemple pour approximer une fonction comme avec les polynômes d'interpolation ou de tchebytchev) ?
[\quote]

Je ne suis pas sûr de voir le lien avec ta question et la méthode des moindres carrés. La méthode des moindres carrés, dans sa version la plus simple (i.e linéaire de dim 1) consiste à approximer un nuage de point par une droite. On peut l'étendre à de la dimension supérieur (résumer un nuage de point par une application linéaire liant des données "accessibles" à des résultats que l'on souhaite "deviner"), et/ou à autre chose que des fonctions linéaires.

Tu peux aller voir mes messages dans cette discussion :http://www.maths-forum.com/a-propos-regressions-142530.php qui explique dans un cadre général ce qu'est une regression.

Sous le terme de méthode des moindres carrés on entend généralement que la distance entre les valeurs réelles et les valeurs prévues par la regression seront données par des carrés. En quelques mots :
tu as un nuage de point (x_i,y_i) et tu cherches la fonction f, dans une classe particulière (par exemple linéaire) telle que

soit la plus petite possible.

Dans le cadre linéaire on a des formules explicite (il suffit d'écrire les conditions d'optimalité du premier ordre pour les obtenir).

[adrien69]

Rien à voir mais je viens de voir (du fait du lien que tu as passé Sylviel) que Dlzlogic était encore banni. Mais je n'ai rien repéré de particulier ces temps-ci, si ?

[deltab]

Salut, je cherche s'il existe une formule simple pour calculer

On peut effectivement N étant un entier exprimer par un polynôme en n de degré N+1. Tu ne trouvera une réponse directe à ton problème dans http://www.google.fr/url?sa=t&rct=j&q=somme%20des%20cubes%20d%C3%A9monstration&source=web&cd=4&cad=rja&ved=0CD8QFjAD&url=http%3A%2F%2Fhomeomath.imingo.net%2Fserie6.htm&ei=r-mFUeHtOonZOsONgMAP&usg=AFQjCNHXR-JjWJMtei6HVwcY3cqsgZVniw
mais t'aidera à trouver par récurrence sur N comment calculer . Si on pose , on montrer que s'exprime en fonction de

[chan79]

On peut effectivement N étant un entier exprimer par un polynôme en n de degré N+1. Tu ne trouvera une réponse directe à ton problème dans http://www.google.fr/url?sa=t&rct=j&q=somme%20des%20cubes%20d%C3%A9monstration&source=web&cd=4&cad=rja&ved=0CD8QFjAD&url=http%3A%2F%2Fhomeomath.imingo.net%2Fserie6.htm&ei=r-mFUeHtOonZOsONgMAP&usg=AFQjCNHXR-JjWJMtei6HVwcY3cqsgZVniw
mais t'aidera à trouver par récurrence sur N comment calculer . Si on pose , on montrer que s'exprime en fonction de

Salut




Le résultat est bien compliqué, par rapport à l'énoncé ....

Pour ceux qui veulent quand même regarder, voir ce lien

[fma]

"Plusieurs mathématiciens se sont intéressés à exprimer la somme des puissances d'entiers ... sous une forme polynomiale..."

http://www.usherbrooke.ca/mathematiques/fileadmin/sites/mathematiques/documents/Recherche/Publications/Rapports_de_recherche/rr56.pdf

Wa(r)ning (il porte bien son nom, celui-là), Hilbert, Riemann...au secours, je me noie.

Bon courage :salut:

PS : et comme on vient de planter le serveur , voilà le cache illisible en apéro

http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:fKtVnNc4D-4J:www.usherbrooke.ca/mathematiques/fileadmin/sites/mathematiques/documents/Recherche/Publications/Rapports_de_recherche/rr56.pdf+&cd=5&hl=fr&ct=clnk&gl=fr

ou ici en anglais

http://scholar.google.fr/scholar?q=%22SUR+LA+SOMME+DES+PUISSANCES+D%E2%80%99ENTIERS%22++pdf&um=1&ie=UTF-8&lr=&q=related:oH-RzlVxXIw5TM:scholar.google.com/

[Archytas]

D'accord, merci à vous, je ferais bon usage de vos lien et vos astuces (; !

[deltab]

D'accord, merci à vous, je ferais bon usage de vos lien et vos astuces (; !

Je te propose ci-dessous une méthode pour calculer en fonction de . C'est une démonstration directe (pas par récurrence comme je l'avais précédemment dit). C'est le calcul effectif de qui nécessite une récurrence.

Soit k un entier donné , la formule du binôme de Newtion appliquée à donne:



En sommant cette égalité pour k variant de 1 à n, on obtient:





Mais d'où:

avec

On remarque bien que est bien un polynôme en de degré

[Archytas]

D'accord, merci !
Jolie démonstration, il me semble l'avoir vu dans un lien proposé ci dessus mais je l'avais lu en diagonale.
Dans ce domaine j'y connais strictement rien alors je vous le demande :
Qu'est ce qui est le moins "couteux" à programmer, la formule par réurrence ou directement la somme. A priori je dirais la somme directement !

fma, dans ton premier lien quand on parle de puissance factorielle ça veut dire ?

[adrien69]

La question ici c'est pas le coût je pense, mais la stabilité du calcul.

[fma]

fma, dans ton premier lien quand on parle de puissance factorielle ça veut dire ?

Les définitions des puissances factorielles montantes ou descendantes semblent définies ici

http://math.univ-lyon1.fr/~lass/articles/pub10lassalle.pdf
http://www.africapresse.com/documents/La_Karimation_.pdf

Mais ne m'en demande pas trop, j'ai du mal à suivre.

[Archytas]

D'acc, pas de soucis, merci pour les puissances factorielles (; !
Et Adrien c'est quoi que t'appelles la stabilité ? C'est bon je l'ai programmé récurcivement !

[deltab]

D'acc, pas de soucis, merci pour les puissances factorielles (; !
Et Adrien c'est quoi que t'appelles la stabilité ? C'est bon je l'ai programmé récurcivement !

Tu as donc apparemment la formule:



puisque tu parles de récursivité.

Si tu es appelé à exécuter le programme avec différentes valeurs de n et de N, penser à sauvegarder dans un fichier les résultats intermédiaires et le résultat lui-même si tu juge que le temps de calcul est long.
Exemple: Supposons que tu as calculé pour et , et tu as sauvegardé les valeurs intermédiaires S_1,S_2,...,S_{{N_1}-1} et le résultat S_{N_1} lui-même et que tu relances le calcul avec la même valeur de n et une valeur de . Si , le résultat est déjà dans le fichier de sauvegarde, il faut juste récupéré, sinon on reprend les calculs récursifs des à partir de

[Archytas]

Salut, sur le lien proposé par chan79 je comprends pas bien l'utilité du début de la question 4... Ils disent de déduire de l'opérateur de pseudo dérivation que Qd existe. Je vois vraiment pas comment faire surtout que par la suite ils disent de se contenter de la restriction de l'application à Rd+1[X]. Et là je suppose qu'il faut montrer que l'appli est linéaire, injective, on en déduit grâce au théorème du rang qu'elle est surjective et on en déduit la réciproque de la question 3 en déduisant de la surjectivité l'existence de P et ensuite on exprime Qd en fonction de P (Qd(X)=P(X+1)) et il suffit de l'appliquer pour X=n pour répondre au problème.
Je pense que c'est pas la méthode la plus simple mais je vois pas comment le justifier avec la pseudo dérivation sans restriction, parce que la surjectivité dans les espaces qui sont pas de dimension finie c'est galère et en plus il disent sans déterminer Sd(n) donc je suppose qu'il faut pas y aller comme un bourrin pour la surjectivité en cherchant l'antécédent d'un polynômes quelconque qui s'écrirait sous la forme P(X+1)-P(X).
Help ! :triste:

[Maxmau]

Salut, sur le lien proposé par chan79 je comprends pas bien l'utilité du début de la question 4... Ils disent de déduire de l'opérateur de pseudo dérivation que Qd existe. Je vois vraiment pas comment faire surtout que par la suite ils disent de se contenter de la restriction de l'application à Rd+1[X]. Et là je suppose qu'il faut montrer que l'appli est linéaire, injective, on en déduit grâce au théorème du rang qu'elle est surjective et on en déduit la réciproque de la question 3 en déduisant de la surjectivité l'existence de P et ensuite on exprime Qd en fonction de P (Qd(X)=P(X+1)) et il suffit de l'appliquer pour X=n pour répondre au problème.
Je pense que c'est pas la méthode la plus simple mais je vois pas comment le justifier avec la pseudo dérivation sans restriction, parce que la surjectivité dans les espaces qui sont pas de dimension finie c'est galère et en plus il disent sans déterminer Sd(n) donc je suppose qu'il faut pas y aller comme un bourrin pour la surjectivité en cherchant l'antécédent d'un polynômes quelconque qui s'écrirait sous la forme P(X+1)-P(X).
Help ! :triste:

Bj
Q un polynôme de degré q donné
Montrons qu'il existe un unique polynôme P vérifiant: P(X+1) - P(X) = Q(X) et P(0) = 0
degré(P(X+1)-P(X)) = degré(P) - 1
Une solution du Pb est donc nécessairement dans Rq+1[X]
L'application linéaire de Rq+1[X] dans Rq[X] qui à P(X) associe P(X+1)-P(X) admet un noyau de dimension 1 (les polynômes constants). Elle est donc surjective (th du rang).Le reste suit sans pb.
J'espère que ça répond à certaines de tes questions

[Archytas]

Bin ça ça va c'est qu'ils demandent de donner une réponse au problème c'est à dire que Sd se met sous forme d'un polynôme et j'imagine que c'est en s'aidant de la pseudo dérivation ? Non ? J'ai peut être rien compris finalement !

[deltab]

Bonjour.

Dans le lien ci-dessous
Somme de puissances d'entiers
il est donné une méthode pour calculer .
Cette méthode est facilement généralisable au calcul de .
On trouve alors que s'exprime en fonction de et (et est un polynôme en de degré )

[Archytas]

Pour la question 10 j'arrive pas à trouver la relation. Voilà ce que j'ai fais :
D'après la relation 2.
D'après la question 9 après je vois pas comment me débarasser de l'intégrale en x+1, et je vois pas comment on fait les changement de variable qund il s'agit de primitive (sans borne)...