Formule de Plouffe

[ArtyB]

Bonsoir,

Un petit exercice pour démontrer la formule de Plouffe qui me pose quelques problèmes, notamment la question 1, comment passer de l'un à l'autre ? Des pistes ?

On utilisera, dans ce qui suit, le résultat suivant : la série de fonctions où, pour tout entier naturel n, est la fonction qui, à tout réel x de ]-1;1[, associe , converge normalement sur tout intervalle

2. Montrer que, pour tout réel x 2, la décomposition en éléments simples de peut s’écrire sous la forme:

où a, b, c sont des réels que l’on déterminera, le plus simplement possible, en évitant des calculs
lourds et compliqués.


3. En déduire la formule obtenue par le mathématicien canadien Simon Plouffe en 95 :

NB : Cette formule permet d’obtenir pour l’écriture du nombre pi en base 16 le n-ième chiffre après la virgule.

[Doraki]

où la convergence est uniforme pour 0 <= x <= 1-;), pour tout .

Du coup on intervertit somme et intégrale, et ça devrait donner le résultat voulu.

[ArtyB]

Merci de ta réponse Doraki, mais je ne comprends pas comment tu obtiens cette somme dans le second membre de ton égalité, qu'est-ce donc ? Un développement limité ?

[Matt_01]

C'est le DSE de 1/(1-x)

[ArtyB]

DSE ? C'est quoi ça ?

[Doraki]

Le développement en série entière de 1/(1-x)

pour |x|<1, 1/(1-x) = 1+x+x²+x^3+x^4+....

[ArtyB]

Ah je ne connais pas ce type de développement.
Et comment l'appliquer au cas présent ? Parce qu'on ait pas vraiment en présence de mais de ?
Et comment on passe de à ta forme ?

[ArtyB]

Tout ce que je vois de possible pour un DSE c'est:

[ArtyB]

Du coup comment obtiens tu ton DSE Doraki ?

[Doraki]

Ben j'ai juste fait rentrer le facteur 16 à l'intérieur de l'intégrale ?
16/(16-x^8) = 1/(1-x^8/16) = x^8/16 + x^16/256 + x^24/4096 + ...

[ArtyB]

D'accord, oui logique en fait. Merci. Et comment déduis tu la convergence uniforme ? Et l'interversion entre somme et intégrale ?

[Pythales]

Bonsoir,

Un petit exercice pour démontrer la formule de Plouffe qui me pose quelques problèmes, notamment la question 1, comment passer de l'un à l'autre ? Des pistes ?

On utilisera, dans ce qui suit, le résultat suivant : la série de fonctions où, pour tout entier naturel n, est la fonction qui, à tout réel x de ]-1;1[, associe , converge normalement sur tout intervalle

2. Montrer que, pour tout réel x 2, la décomposition en éléments simples de peut s’écrire sous la forme:

où a, b, c sont des réels que l’on déterminera, le plus simplement possible, en évitant des calculs
lourds et compliqués.


3. En déduire la formule obtenue par le mathématicien canadien Simon Plouffe en 95 :

NB : Cette formule permet d’obtenir pour l’écriture du nombre pi en base 16 le n-ième chiffre après la virgule.

Pour on trouve
De plus, lorsque augmente, la parenthèse tend vers ...

[Skullkid]

Pour on trouve

Ce qui n'est pas gênant puisque personne n'a dit que le n-ième chiffre de pi en base 16 était égal au facteur de 1/16^n dans le terme général de la série (qui n'a d'ailleurs aucune raison d'être entier). L'extraction de ce chiffre requiert du travail supplémentaire sur la formule.

[Pythales]

Ce qui n'est pas gênant puisque personne n'a dit que le n-ième chiffre de pi en base 16 était égal au facteur de 1/16^n dans le terme général de la série (qui n'a d'ailleurs aucune raison d'être entier). L'extraction de ce chiffre requiert du travail supplémentaire sur la formule.

Désolé, mais en base 10,
Non ?

[so213]

Bonjour à tous, j'ai une petite question qui pourrait paraître assez simple mais où je bloque :triste:
V(n) = V(0) x q^n
V(n) = (1/2) x (1/2)^n
V(n) = (1/4)^n+1 car j'ai fait (1/2)^1 * (1/2)^n Cependant je sais que mon résultat est faux et que la bonne réponde est (1/2)^n+1 Mais je ne comprend pas pourquoi :hum:
Merci d'avoir lu :)

[Doraki]

@Pythales

Oui mais en base 7, pi = 3 + 0.7 /7 + 1.96 / 7² + 0.343 / 7^3 + ... et pourtant 0.7 n'est pas le premier chiffre de pi après la virgule en base 7

D'ailleurs tu peux écrire pi = a + b/7 + c/7² + d/7^3 + e/7^4 + ... avec tout ce que tu veux pour a,b,c,d,e tant que tu fasses converger la série proprement plus tard.
Pour que ce soit les chiffres de pi en base 7 il faut que les coefficients soient DES ENTIERS ENTRE 0 ET 6.

Les coeffs dans la formule de plouffe ne sont pas des entiers entre 0 et 15 donc ce ne sont pas les chiffres de pi en base 16.

[Pythales]

@Pythales

Oui mais en base 7, pi = 3 + 0.7 /7 + 1.96 / 7² + 0.343 / 7^3 + ... et pourtant 0.7 n'est pas le premier chiffre de pi après la virgule en base 7

D'ailleurs tu peux écrire pi = a + b/7 + c/7² + d/7^3 + e/7^4 + ... avec tout ce que tu veux pour a,b,c,d,e tant que tu fasses converger la série proprement plus tard.
Pour que ce soit les chiffres de pi en base 7 il faut que les coefficients soient DES ENTIERS ENTRE 0 ET 6.

Les coeffs dans la formule de plouffe ne sont pas des entiers entre 0 et 15 donc ce ne sont pas les chiffres de pi en base 16.

OK. Alors pourquoi dire que la formule donne directement le nième chiffre en base 16 ?

[Skullkid]

OK. Alors pourquoi dire que la formule donne directement le nième chiffre en base 16 ?

Ben c'est pas dit, justement ! L'énoncé dit juste que la formule permet d'obtenir le développement en base 16 de pi, pas qu'elle est le développement en base 16 de pi.

[Doraki]

Pour revenir au sujet

@ArtyB,

pour tout x dans [0;1], (x^8/16) <= 1/16 < 1,
comme l'énoncé te rappelle que la série 1+t+t²+... converge normalement (vers 1/(1-t)) sur tout intervalle du genre [0;1/16] et que |x^(s-1)| <=1 pour tout s>0 et x dans [0;1],
on en déduit que la série de terme général x^(s-1)*(x^8/16)^n converge normalement vers x^(s-1)/(1-x^8/16).

Comme l'intervalle d'intégration est borné on peut intervertir l'intégration et la somme.

[siger]

bonsoir

Bonjour à tous, j'ai une petite question qui pourrait paraître assez simple mais où je bloque :triste:
V(n) = V(0) x q^n
V(n) = (1/2) x (1/2)^n
V(n) = (1/4)^n+1 car j'ai fait (1/2)^1 * (1/2)^n Cependant je sais que mon résultat est faux et que la bonne réponde est (1/2)^n+1 Mais je ne comprend pas pourquoi :hum:
Merci d'avoir lu

(1/2)*(1/2)^n = (1/2) ^(n +1)
=(1/2) *[ (1/2)*(1/2)* ....(1/2) n fois]
= [(1/2)*(1/2)]*[(1/2)*(1/2)...(1/2) ]
= (1/4)* (1/2)^(n-1)