Formule de la moyenne

[superkader5]

Bonsoir, j'ai un petit problème sur l'application du théorème des valeurs intermédiaires :
Soient f,g deux fonctions continues sur [a,b], je doit montrer que si g est positive sur [a,b] alors

Je sais qu'il existe c,d dans [a,b] tel que pour tout x dans [a,b], f(c) f(x) f(d) et en multipliant par g et en intégrant je trouve



C'est là que je doit utiliser le théorème des valeurs intermédiaires qui me dit :
Pour tout dans [f(a),f(b)], il existe e dans [a,b] tel que f(e)=

Mais ici, on ne peut pas garantir que f(a) f(c) et que f(d) f(b) pour conclure. Donc j'ai besoin d'un coup de main. Merci d'avance.

[MMu]

est continue donc il elle a un minimum , un maximum ,
et il y existe tels que
Comme on a . Si alors évidemment
Si on obtient et je te laisse appliquer le TVI ..
N.B. la continuité de n'est pas requise
:zen:

[superkader5]

Justement, je n'arrive pas à appliquer le TVI car il faut que l'on ai m et M entre f(a) et f(b) mais ce n'ai pas forcément le cas!

[darkpseudo]

Si ta fonction f est continue sur le segment [a,b] donc elle atteint ses bornes sur ce segment.

[superkader5]

Si ta fonction f est continue sur le segment [a,b] donc elle atteint ses bornes sur ce segment.

Je ne comprend pas, je n'arrive pas a utiliser le tvi , on doit prendre un élément entre f(a) et f(b) mais je sais pas lequel :mur:

[darkpseudo]

Bien sûr que tu ne sais pas lequel, mais tu sais qu'il existe, MMu a tout dit (peut être allé un peu trop vite sur l'argument d'une fonction continue positive d'intégrale nulle est nulle), mais sinon relis bien ce qui a été écris, et si tu ne comprend toujours pas revois ton cours dessins à l'appui.

[superkader5]

J'ai une question qui pourrai peut être me débloquer de la situation :
Soit un intervalle [c,d] inclus dans un intervalle [a,b]. Est ce si il existe dans [c,d] alors il existe dans [a,b]?

[darkpseudo]

Oui, c'est vrai, la réciproque par contre ne l'est pas. Pour t'en persuadé fais des dessins représente ton intervalle par un segment.

[superkader5]

okey merci :)

[MMu]

Bien sûr que tu ne sais pas lequel, mais tu sais qu'il existe, MMu a tout dit (peut être allé un peu trop vite sur l'argument d'une fonction continue positive d'intégrale nulle est nulle), mais sinon relis bien ce qui a été écris, et si tu ne comprend toujours pas revois ton cours dessins à l'appui.

Je n'ai pas utilisé l'argument d'une fonction continue positive ...
J'ai utilisé seulement le fait que est intégrable et positive (ça généralise un peu l'énoncé initial).
Comme on a .
Si alors évidemment donc .
etc ..
Do you follow me ?
:zen:

[darkpseudo]

Désolé je l'avais compris autrement, bonne soirée.