[mpsi] formule de Lagrange

[Anonyme]

Bonjour, je cherche à démonter la formule de Lagrange:

( som(i =1,n) xi,yi )² + som(1<=ixi²)*(som(i=1,n)yi²)

Pourriez-vous m'aider SVP. MERCI d'avance.

[Anonyme]

melanie demande:

> Bonjour, je cherche à démonter la formule de Lagrange:
>
> ( som(i =1,n) xi,yi )" + som(1 xi")*(som(i=1,n)yi")

Une démonstration par récurrence fera l'affaire.

--
B.R

[Anonyme]

Benoit Rivet a écrit:
> melanie demande:
>
>[color=green]
>>Bonjour, je cherche à démonter la formule de Lagrange:
>>
>>( som(i =1,n) xi*yi )" + som(1>xi")*(som(i=1,n)yi")
>
>
> Une démonstration par récurrence fera l'affaire.
>[/color]

On peut faire plus élégante en faisant une preuve directe, mais en
format texte ca risque d'être un peu barbare.
L'idée c'est de voir que la deuxième somme vaut :
Sum((xi*yj)^2,i=1..n,j=1..n,i!=j) - Sum(xi*xj*yi*yj,i=1..n,j=1..n,i!=j).
Or la différence de la première somme avec celle de droite vaut
Sum((xi*yi)^2,i=1..n).
On doit donc montrer que Sum(xi*yi,i=1..n)^2 = Sum((xi*yi)^2,i=1..n) +
Sum((xi*yi)*(xj*yj),i=1..n,j=1..n) = Sum((xi*yi)*(xj*yj),i=1..n,j=1..n).
Or cette dernièr égalité se montre trivialement par récurrence, d'après
la formule du binôme de Newton.

--
albert