Formule intrinsèque

[mathelot]

bonjour,

Si E est un e.v de dimension finie et u un endomorphisme de E,
E* son dual, on définit l'application transposée u* par:



y a t il un moyen de montrer la formule
det(u*)=det(u) sans passer par les bases ?

merçi d'avance pour vos réponses.

[jose_latino]

Ta question est intéressante :++:
On défine d'abord le déterminant d'une matrice. Puis,
la définition élémentaire du déterminant d'un endomorphisme utilise la représentation de l'endomorphisme en une base mais après on démontre que en fait celle-ci est indépendante de la base choisie et on connaît que une matrice et sa transposée ont le même déterminant.

Donc, ton problème se réduit à démontrer que s'on a une base de , la matrice associée à la transposée par rapport à la base duale est la transposé de matrice associée à la transformation originale par rapport à la base de choisie.

Si tu connaîs l'algèbre extérieure, je peux te donner une autre démonstration. Bon courage! :zen:

[mathelot]

Si tu connaîs l'algèbre extérieure, je peux te donner une autre démonstration.

oui, volontiers.