Formule de Green Rienmann

[Cryptocatron-11]

Bonsoir,

je comprend pas un truc concernant la formule de Green rienmann.

Pour calculer d(df(x,y) je comprend le truc. Mais un moment on arrive à . Et sur un pdf, ils disent que dxdx=0 . :doh:
Je comprend pas pourquoi dxdx=0 et aussi pourquoi d(df(x,y)=0 si f est une fonction .

[Pythales]

Bonsoir,

je comprend pas un truc concernant la formule de Green rienmann.

Pour calculer d(df(x,y) je comprend le truc. Mais un moment on arrive à . Et sur un pdf, ils disent que dxdx=0 . :doh:
Je comprend pas pourquoi dxdx=0 et aussi pourquoi d(df(x,y)=0 si f est une fonction .

Il s'agit du produit vectoriel

[Cryptocatron-11]

Bah tu peux m'expliquer . Voila le lien ou j'ai lu ça :

http://www.math.u-psud.fr/~pansu/websm/integrale.pdf

au paragraphe 4.4) formes différentielles exactes et fermées.

[Doraki]

Est-ce que tu as lu les définitions 7 et 8 ?
Si t'as compris comment calculer d(df(x,y)), je vois absolument pas ce qui t'embête pour montrer que ça fait 0 dxdy lorsque df est la différentielle d'une fonction f.

Je t'accorde que les 3èmes et 4èmes points de la remarque qui suit ne veulent rien dire.
Dans le 3, ils multiplient 2 1-forme différentielle pour faire une 2-forme différentielle.
Dans le 4, ils parlent de "dxdx", "dydy", "dydx" alors que ça n'existe pas. "dxdy" est seulement un truc qui dit "je suis la dérivée d'une 1-forme différentielle, je suis un résultat de la définition 8".

Les points 3 et 4, tu peux les prendre comme une manière alternative de faire un calcul en utilisant des trucs qui a priori veulent rien dire et des règles dessus pour donner à la fin un truc qui existe.

Bon après "dxdy" se transforme en "un truc qui permet de faire des intégrales doubles" et le théorème 5 relie l'intégrale double de la dérivée d'une 1-forme différentielle (vue comme un truc dont on peut faire une intégrale double), et une intégrale de cette 1-forme différentielle.



Maintenant si t'avais un vrai cours de maths, ce serait expliqué plus proprement et pas en une demi-page.
En fait il s'agit du produit extérieur de formes différentielles, et la définition de "^" est à peu près que c'est une opération multilinéaire associative et anticommutative : a^b = -b^a pour toutes 1-formes différentielles.
Avec ça on peut définir la dérivée d'une k-forme différentielle comme dans [url]http://fr.wikipedia.org/wiki/Dérivée_extérieure[/url]

[Cryptocatron-11]

Donc ils partent de n'importe quoi pour arriver à quelque chose de vrai. Mais pourquoi ne sont ils pas directement parti de quelque chose de vrai pour arriver à quelque chose de vrai ? lol
D'après ce que j'ai cru comprendre , si on voudrait pas partir sur du n'importe quoi , il faudrait introduire la dérivée extérieure ...
Mais sur de nombreux cours même dans celui la http://houchmandzadeh.net/cours/Math/chap_FormeDif.pdf , bah ils partent d'une pseudo méthode qui n'a pas de sens mathématiques pour tomber sur la formule de Green.

Et quand tu parle de 0-forme , 1-forme , 2-forme. Ces chiffres qui sont mis devant représentent le nombre de fois ou tu as "différencier" la fonction f. C'est bien ça ?
Exemple :
0-forme différentielle c'est f(x,y)
1-forme différentielle c'est d(f(x,y))
2-forme différentielle c'est d(d(f(x,y)))
.....
k-forme différentielle c'est d(d(......(d(f(x,y))))).....)

Bon après sur le lien wikipédia que tu m'as filé, ce que j'en ai compris c'est
(M) désigne l'ensemble des éléments de la forme avec et des formes différentielles de même degré?
d est une application qui prend deux élément de (M) et qui les combinent en


Mais je comprend rien aux règles de calculs !!

Il est écrit que
w est une k-forme et ils l'écrivent
puis la différentielle de w s'écrit

Donc j'en déduis que désigne la fonction initiale et les x_i corresponde aux composante des vecteur sur lesquels est définie f ?
Mais quel rapport avec l'application d ?

[Doraki]

Ben tu peux faire les calculs correctement en utilisant proprement les définitions 7 et 8 de ton cours et en oubliant la "méthode mnémotechnique" présentée à la remarque 9

La définition d'une k-forme différentielle, c'est un truc dont on peut prendre une intégrale k-uple.

Pour k=1 c'est un truc qu'on peut intégrer une fois donc c'est en fait une fonction linéaire sur les chemins de ton espace.
Il suffit de la définir sur des tous petits chemins (c'est le principe même de l'intégration), donc il suffit de dire en chaque point, si on fait un pas de dx sur l'axe des x, combien on apporte à l'intégrale, si on fait un pas de dy sur l'axe des y, combien on apporte à l'intégrale etc.
Par exemple la 1-forme xdx+dy, intégrée sur le chemin diagonal qui va de (2,1) à (3,2),
ben c'est l'intégrale sur le chemin de ;) = xdx+dy. En prenant une paramétrisation x(t)=2+t et y(t) = 1+t,
on peut l'exprimer sous la forme d'une intégrale normale, celle pour t allant de 0 à 1 de (2+t)dt + dt. En chaque point le chemin que tu es en train de parcourir c'est du dx=dt, dy=dt, donc tu dois intégrer du (x+1)dt.

Si on appelle ;)0 l'ensemble des fonctions continues, ;)1 est un ;)0-module.
On peut multiplier une 1-forme différentielle par une fonction f.
Par exemple (y)*;), c'est la forme notée y(xdx+dy) = xydx+ydy, et si je l'intègre encore sur mon chemin de (2,1) à (3,2) c'est l'intégrale pour t allant de 0 à 1 de (1+t)((2+t)dt+dt).

En fait, dans R^n, ;)1 est un ;)0-module libre de dimension n (comme un espace vectoriel de dimension n sauf qu'il existe des fonctions continues non nulles non inversibles donc ;)0 c'est pas un corps). Et il est engendré par les 1-formes dx1, dx2, dx3 ... dxn.

La définition de dx1 c'est "l'intégrale de dx1 sur un chemin qui va de (x1=a, x2 = .....) à (x1=b,x2=...) est (b-a).
De même pour dx2, dx3 etc.


Maintenant quand t'as une fonction f, tu peux parler de la 1-forme df, sa différentielle.
Encore une fois c'est une définition très simple : "l'intégrale de df sur un chemin qui va de P à Q est f(Q)-f(P)".


Ensuite tu as les 2-formes différentielles. Par définition c'est les trucs que dont tu peux prendre des intégrales de surfaces.
Cette fois-ci au lieu de sommer des petits segments infinitésimaux, on somme des petits parallélogrammes infinitésimaux (avec une orientation)
Par exemple le parallélogramme dx^dx, ben son aire est nulle donc l'intégrale de tout ce que tu veux dessus doit être nulle. Ensuite, le parallélogramme dx^dy, c'est le même que le parallélogramme dy^dx mais avec l'orientation inverse, donc ça doit faire pareil que -dx^dy.
Et localement toutes les fonctions sont linéaires, donc on veut que par exemple 0 = (dx+dy) ^ (dx+dy)
= dx^(dx+dy) + dy^(dx+dy) = dx^dx + dx^dy + dy^dx + dy^dy = dx^dy + dy^dx.
(si tu veux, intègre une fonction affine sur des petits parallélogrammes pour voir géométriquement la linéarité et comment intervient l'orientation)

;)2 est encore un ;)0-module libre de dimension finie, et il est engendré par les 2-formes dxi^dxj pour iMaintenant, la différentielle d'une 1-forme, c'est la 2-forme définie par "l'intégrale sur une surface S de d;) = l'intégrale de ;) sur le contour de S".
Exercice : vérifie que ça correspond (sur les parallélogrammes infinitésimaux) à la définition qu'on t'a donnée de d;).

On peut continuer et définir les 3-formes, les 4-formes etc, et continuer de définir des dérivations toujours avec la même définition (l'intégrale de la dérivée d'une k-forme sur un bidule S de dimension (k+1), c'est l'intégrale de cette k-forme sur le contour de S, qui est un bidule de dimension k).

Et le produit extérieur d'une k1-forme ;)1 avec une k2-forme ;)2, c'est la (k1+k2)-forme définie par
"l'intégrale de ;)1^;)2 sur un rectangle infinitésimal dx1^dx2 = l'intégrale de ;)1 dx1 * l'intégrale de ;)2 dx2", où on prend dx1 et dx2 de la dimension qui correspond. Géométriquement j'trouve que ça correspond à rien mais c'est ptetre parceque je m'en sers jamais.

[Cryptocatron-11]

l'intégrale de la dérivée d'une k-forme sur un bidule S de dimension (k+1), c'est l'intégrale de cette k-forme sur le contour de S, qui est un bidule de dimension k

J'ai du mal à comprendre la notion de dérivée d'une différentielle.
Imaginons j'ai une forme diff de la forme avec P et Q des éléments de 0. P et Q sont des fonctions de x et y.
Or et
La dérivée de w c'est quoi ? Puis normalement il y'en a pas qu'une car on a deux variables. et on dérive par rapport à quoi? car une différentielle est une fonction qui est défini sur un truc infinitésimaux non?

Puis ensuite je crois que l'on doit retrouver l'intégrale de la 2-forme différentielle égal à w et qui doit être de la forme:

Avec A , B , C , D 0 des fonctions de x et y.

[Doraki]

La dérivée de ;) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy est la 2-forme différentielle d;) telle que l'intégrale sur une surface de d;) vaut l'intégrale sur le contour de cette surface de ;).

Par exemple imaginons que t'es en dimension 2. Pour comprendre d;) il suffit de comprendre son intégrale sur des petits rectangles infinitésimaux.
Par exemple son intégrale sur le rectangle [x ; x+dx] * [y ; y+dy], lorsque dx et dy tendent vers 0, doit
être équivalent à R(x,y) * dxdy où R(x,y) est un certain nombre réel.

Par définition de d;), son intégrale sur [x ; x+dx] * [y ; y+dy],
c'est l'intégrale de ;) sur le chemin qui va de (x,y) à (x+dx,y) puis à (x+dx,y+dy) puis à (x,y+dy) puis à (x,y).
Si ;) était la différentielle d'une fonction f, ben ça vaudrait (par définition de df) f(x,y)-f(x,y) = 0.
Mais bon nous on a ;) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy. (où P et Q sont supposées continues et même différentiables)

L'intégrale de P(x,y)dx sur le premier morceau qui va de (x,y) à (x+dx,y), par définition de la 1-forme dx, c'est l'intégrale pour t=0 à dx, de P(x+t,y)*1dt.
D'autre part, l'intégrale de Q(x,y)dy sur ce morceau, par définition de la 1-forme dy, c'est l'intégrale pour t=0 à dx de Q(x+t,y)*0dt = intégrale de 0dt = 0.

Donc l'intégrale de ;) sur la réunion du 1er et du 3ème morceau, elle, ça donne
l'intégrale pour t=0 à dx, de P(x+t,y)*dt + P(x+dx-t,y+dy)*(-dt)
= intégrale de (P(x+t,y) - P(x+t,y+dy))*dt
~ intégrale de - dP/dy(x+t,y)*dydt ~ - dP/dy(x,y)*dxdy

De même, l'intégrale de ;) sur la réunion du 2ème et du 4ème morceau, elle, ça donne
l'intégrale pour t=0 à dy, de Q(x+dx,y+t)*dt + Q(x,y+dy-t)*(-dt)
= intégrale de (Q(x+dx,y+t) - Q(x,y+dy))*dt
~ intégrale de dQ/dx(x,y+t)*dxdt ~ dQ/dx(x,y)*dxdy

Donc finalement, d;) = (dQ/dx(x,y)- dP/dy(x,y))*dxdy.

Si tu es dans un espace à plus de dimensions, il faut regarder l'intégrale sur d'autres rectangles infinitésimaux, ça donne des termes de la forme truc(x,y,z)*dxdz en plus de celui en truc(x,y,z)*dxdy.

Maintenant on peut faire le calcul de manière formelle avec le produit extérieur, il faut juste connaître les règles de calculs et avoir vérifié que ça calcule bien ce qu'on veut.

d;) = d(Pdx+Qdy) = d(Pdx)+d(Qdy)
= (-1)^0*P*ddx + dP^dx + (-1)^0*Q*ddy + dQ^dy (P et Q dont des 0-formes différentielles)
= 0 + dP^dx + 0 + dQ^dy
= ((dP/dx)*dx + (dP/dy)*dy)^dx + ((dQ/dx)*dx + (dQ/dy)*dy)^dy
= (dP/dx)*dx^dx + (dP/dy)*dy^dx + (dQ/dx)*dx^dy + (dQ/dy)*dy^dy
= 0 + (dP/dy)*dy^dx + (dQ/dx)*dx^dy + 0
= (dQ/dx - dP/dy)*dx^dy

[Cryptocatron-11]

La dérivée de = P(x,y)dx + Q(x,y)dy est la 2-forme différentielle d;) telle que l'intégrale sur une surface de d;) vaut l'intégrale sur le contour de cette surface de .

Et est ce que je peux aplliquer ça pour une 0-forme différentielle. C'est a dire , est ce que je peux dire que la dérivée de la fonction f c'est df ? ça revient à dire que la dérivée de f c'est la 1-forme différentielle non?

L'intégrale de P(x,y)dx sur le premier morceau qui va de (x,y) à (x+dx,y), par définition de la 1-forme dx, c'est l'intégrale pour t=0 à dx, de P(x+t,y)*1dt.
D'autre part, l'intégrale de Q(x,y)dy sur ce morceau, par définition de la 1-forme dy, c'est l'intégrale pour t=0 à dx de Q(x+t,y)*0dt = intégrale de 0dt = 0.

D'ou sort ce zéro dans Q(x+t,y)*0dt ? J'ai pas compris.

Donc l'intégrale de sur la réunion du 1er et du 3ème morceau, elle, ça donne
l'intégrale pour t=0 à dx, de P(x+t,y)*dt + P(x+dx-t,y+dy)*(-dt)
= intégrale de (P(x+t,y) - P(x+t,y+dy))*dt
~ intégrale de - dP/dy(x+t,y)*dydt ~ - dP/dy(x,y)*dxdy

ça veut dire que ?

Mais j'ai un peu de mal pour le passage de
intégrale de (P(x+t,y) - P(x+t,y+dy))*dt ~ intégrale de - dP/dy(x+t,y)*dydt . Tu dérives P par rapport à y puis tu le réintègre par rapport à y c'est ça ?

[Doraki]

Et est ce que je peux aplliquer ça pour une 0-forme différentielle. C'est a dire , est ce que je peux dire que la dérivée de la fonction f c'est df ? ça revient à dire que la dérivée de f c'est la 1-forme différentielle non?

Oui c'est le même principe. J'ai mis la définition de la 1-forme différentielle df quand f est une fonction.
Si tu veux l'écrire concrètement comme combinaison linéaire de dx,dy,dz etc c'est le même genre de truc, il suffit juste de voir que sur des petits chemins infinitésimaux, ça donne le résultat auquel on s'attend.

D'ou sort ce zéro dans Q(x+t,y)*0dt ? J'ai pas compris.

on calcule l'intégrale de Qdy sur le chemin qui va de (x,y) à (x+dx,y). Sur ce chemin, y ne varie pas :
en prenant comme paramétrisation x(t) = x+t et y(t) = y, ça revient à calculer l'intégrale pour t=0 à dx de Q(x+t,y)*0dt parceque dy/dt = 0 (y ne varie pas).

ça veut dire que ?

Au début je pensais juste en terme d'équivalents toujous avec une intégrale simple (le dy était la dimension du rectangle et pas une 1-forme différentielle), mais oui on peut aussi le dire comme ça, ça revient un peu au même (les notations sont pas terribles vu que mes dx et dy veulent dire 2 trucs en même temps). C'est bon aussi de remplacer la différence par une intégrale sur dy.

Je disais juste que P(x+t,y) - P(x+t,y+dy), ben c'est en première approximation, presque la même chose que dP/dy(x+t,y) * dy, et ensuite de toutes façon, comme t tend vers 0 et que dP/dy est continue, c'est aussi presque la même chose que dP/dy(x,y)*dy.
Là je fais appel à ton coté physicien surtout.

[Cryptocatron-11]

Je disais juste que P(x+t,y) - P(x+t,y+dy), ben c'est en première approximation, presque la même chose que dP/dy(x+t,y)

Cette approximation tu peux la faire car dy tend vers 0 ? Sinon l'erreur d'approximation serait trop grande.
Ton idée c'est que la dérivée vaut toujours P(x+t,y). Donc on fixe la valeur de la fonction dérivée de P suivant y au point (x+t,y) et on la multiplie par la longueur de déplacement dy et ça tend vers losque dy tend vers 0

~ intégrale de - dP/dy(x+t,y)*dydt ~ - dP/dy(x,y)*dxdy

OK donc dx est une forme différentielle et dy est 1 dimension. C'est donc deux machins différents.
Et pour revenir à dx tu refais une paramétrisation ? parce que tu passes de dydt à dxdy.

Si je comprend bien avec double intégrale, ça permet d’éviter ton approximation et comme c'est "parfaitement intégré", on peut mettre un = et pas un ~ .
Tandis que ta méthode revient à utiliser qu'une seule intégrale suivant x. Puis comme tu fais une approximation pour y, t'es obligé de mettre un ~ .

Donc finalement, d;) = (dQ/dx(x,y)- dP/dy(x,y))*dxdy.

Ca fait zéro ça non ?


Dans ce paragraphe qui suit je vais sans doute dire des grosses absurdités mathématiques et du gros n'importe quoi mais bon c'est en faisant des erreurs qu'on comprend...

Alors déjà est ce juste d'écrire ? t étant une variable muette et h tend vers 0. Car si f n'est pas linéaire on peut pas dire que dfx(h)=f(x+h)-f(x) on peut seulement dire que dfx(h)~f(x+h)-f(x) (c'est un peu ça que t'as utilisé dans ton approximation non?)

Ensuite peut on dire que ? r étant une variable muette

Du coup on se retrouve avec .

Mais maintenant si j'écris
Est ce du n'importe quoi ?

[Doraki]

Cette approximation tu peux la faire car dy tend vers 0 ? Sinon l'erreur d'approximation serait trop grande.
Ton idée c'est que la dérivée vaut toujours P(x+t,y). Donc on fixe la valeur de la fonction dérivée de P suivant y au point (x+t,y) et on la multiplie par la longueur de déplacement dy et ça tend vers losque dy tend vers 0


OK donc dx est une forme différentielle et dy est 1 dimension. C'est donc deux machins différents.
Et pour revenir à dx tu refais une paramétrisation ? parce que tu passes de dydt à dxdy.

Si je comprend bien avec double intégrale, ça permet d’éviter ton approximation et comme c'est "parfaitement intégré", on peut mettre un = et pas un ~ .
Tandis que ta méthode revient à utiliser qu'une seule intégrale suivant x. Puis comme tu fais une approximation pour y, t'es obligé de mettre un ~ .

oui j'crois que c'est à peu près ça.
Mais en fait mettre une intégrale double c'est mieux et en fait, quand tu mets l'intégrale double tu démontres la formule de machin sur n'importe quel rectangle (petit ou grand).
Donc c'est mieux en fait!.

Ca fait zéro ça non ?

Ben non il existe des fonctions à 2 variables P et Q telles que dQ/dx - dP/dy n'est pas nul.
C'est même super rare que ça soit nul.
C'est nul est localement la différentielle d'une fonction

Après j'ai pas compris ce que t'as écrit, mais ce qui est juste c'est d'écrire la définition de la différentielle ; f(a) - f(b) = intégrale de df sur un chemin de b à a.
Si a est suffisemment proche de b, ben t'intègres un truc qui ne change pas beaucoup.
Après le reste j'crois que c'ets n'importe quoi.