par Doraki » 15 Jan 2012, 16:45
La dérivée de ;) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy est la 2-forme différentielle d;) telle que l'intégrale sur une surface de d;) vaut l'intégrale sur le contour de cette surface de ;).
Par exemple imaginons que t'es en dimension 2. Pour comprendre d;) il suffit de comprendre son intégrale sur des petits rectangles infinitésimaux.
Par exemple son intégrale sur le rectangle [x ; x+dx] * [y ; y+dy], lorsque dx et dy tendent vers 0, doit
être équivalent à R(x,y) * dxdy où R(x,y) est un certain nombre réel.
Par définition de d;), son intégrale sur [x ; x+dx] * [y ; y+dy],
c'est l'intégrale de ;) sur le chemin qui va de (x,y) à (x+dx,y) puis à (x+dx,y+dy) puis à (x,y+dy) puis à (x,y).
Si ;) était la différentielle d'une fonction f, ben ça vaudrait (par définition de df) f(x,y)-f(x,y) = 0.
Mais bon nous on a ;) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy. (où P et Q sont supposées continues et même différentiables)
L'intégrale de P(x,y)dx sur le premier morceau qui va de (x,y) à (x+dx,y), par définition de la 1-forme dx, c'est l'intégrale pour t=0 à dx, de P(x+t,y)*1dt.
D'autre part, l'intégrale de Q(x,y)dy sur ce morceau, par définition de la 1-forme dy, c'est l'intégrale pour t=0 à dx de Q(x+t,y)*0dt = intégrale de 0dt = 0.
Donc l'intégrale de ;) sur la réunion du 1er et du 3ème morceau, elle, ça donne
l'intégrale pour t=0 à dx, de P(x+t,y)*dt + P(x+dx-t,y+dy)*(-dt)
= intégrale de (P(x+t,y) - P(x+t,y+dy))*dt
~ intégrale de - dP/dy(x+t,y)*dydt ~ - dP/dy(x,y)*dxdy
De même, l'intégrale de ;) sur la réunion du 2ème et du 4ème morceau, elle, ça donne
l'intégrale pour t=0 à dy, de Q(x+dx,y+t)*dt + Q(x,y+dy-t)*(-dt)
= intégrale de (Q(x+dx,y+t) - Q(x,y+dy))*dt
~ intégrale de dQ/dx(x,y+t)*dxdt ~ dQ/dx(x,y)*dxdy
Donc finalement, d;) = (dQ/dx(x,y)- dP/dy(x,y))*dxdy.
Si tu es dans un espace à plus de dimensions, il faut regarder l'intégrale sur d'autres rectangles infinitésimaux, ça donne des termes de la forme truc(x,y,z)*dxdz en plus de celui en truc(x,y,z)*dxdy.
Maintenant on peut faire le calcul de manière formelle avec le produit extérieur, il faut juste connaître les règles de calculs et avoir vérifié que ça calcule bien ce qu'on veut.
d;) = d(Pdx+Qdy) = d(Pdx)+d(Qdy)
= (-1)^0*P*ddx + dP^dx + (-1)^0*Q*ddy + dQ^dy (P et Q dont des 0-formes différentielles)
= 0 + dP^dx + 0 + dQ^dy
= ((dP/dx)*dx + (dP/dy)*dy)^dx + ((dQ/dx)*dx + (dQ/dy)*dy)^dy
= (dP/dx)*dx^dx + (dP/dy)*dy^dx + (dQ/dx)*dx^dy + (dQ/dy)*dy^dy
= 0 + (dP/dy)*dy^dx + (dQ/dx)*dx^dy + 0
= (dQ/dx - dP/dy)*dx^dy