Formule de Green pour champ à 3 variables

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Muze
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Formule de Green pour champ à 3 variables

par Muze » 20 Aoû 2006, 13:30

Je dois calculer le travail du champ
Le long du cercle

J'ai fait le rotationnel pour voir si le champ était conservatif mais ce n'est pas le cas.
J'ai seulement vu la formule de Green pour les champs à deux variables, elle est valable dans le cas de 3 variables?

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Pythales
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par Pythales » 20 Aoû 2006, 17:37

Ton problème est un problème à 2 variables puisque

que je te laisse calculer ...

Muze
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par Muze » 20 Aoû 2006, 17:54

Oui, mais en imaginant que j'ai un champ vectoriel à 3 variables, la formule de Green est-elle toujours valable, et si oui que devient-elle?

Pythales
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par Pythales » 20 Aoû 2006, 18:32

Quand on passe de 2 à 3 variables, on peut dire que la formule de Green a deux généralisations :
- La formule de Stokes, qui transforme une intégrale simple (curviligne) en intégrale double (circulation=flux)
- La formule d'Ostrogradsky, qui transforme une intégrale double en intégrale triple (flux=divergence)
Je peux te donner les formules, mais tu trouveras tout ça sur le net.

quinto
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par quinto » 20 Aoû 2006, 21:26

Pythales a écrit:Quand on passe de 2 à 3 variables, on peut dire que la formule de Green a deux généralisations :
- La formule de Stokes, qui transforme une intégrale simple (curviligne) en intégrale double (circulation=flux)
- La formule d'Ostrogradsky, qui transforme une intégrale double en intégrale triple (flux=divergence)
Je peux te donner les formules, mais tu trouveras tout ça sur le net.

En fait toutes ces généralisations n'en forment qu'une, le théorème de Stokes:

où M est une variété à bord et une forme différentielle.
On peut retrouver chacune des formules usuelles avec ce théorème. En général, ca évite de trop s'embeter à retenir des trucs que l'on ne comprend pas toujours, et puis les calculs se refont vite.
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