Formule des accroissement fini

[Ben314]

Si tu veut procéder comme ça[quote="BiancoAngelo"]Soit définie sur .
On calcule et on trouve .
Donc [COLOR=Red]\sqrt{1+x^2}\ [/TEX]
c'est à dire que ce qui permet de voir :
- Qu'il faut minorer (et pas majorer)
- Que si on voulais rédiger de la façon dont tu le fait, à la place de , il aurait fallu écrire
"Pour tout entre 0 et , on a "

[BiancoAngelo]

Si tu veut procéder comme çaEn fait, pour x non nul, où est strictement entre et .
Donc et il faut montrer que
c'est à dire que ce qui permet de voir :
- Qu'il faut minorer (et pas majorer)
- Que si on voulais rédiger de la façon dont tu le fait, à la place de , il aurait fallu écrire
"Pour tout entre 0 et , on a "

D'accord, merci.
De toute façon, j'avais vu dès le départ que la majoration n'allait pas apporter grand chose vu que l'inégalité était dans l'autre sens.

Finalement, il vaut utiliser l'existence du tel que ... (pour reprendre la formulation du théorème plutôt que l'inégalité qui est une application bien particulière... n'est-ce pas ?

Merci en tout cas Ben, encore une fois !
Ca faisait bien longtemps que j'avais pas manipulé les accroissements finis... :we:

[Ben314]

Finalement, il vaut utiliser l'existence du tel que ... (pour reprendre la formulation du théorème plutôt que l'inégalité qui est une application bien particulière... n'est-ce pas ?

A mon sens (donc peut-être avec un peu trop de recul), si on regarde les différents corollaires du T.A.F., à savoir :
- Si f'>0 sur un intervalle I alors f est croissante sur I (idem avec f' f décroissante) (*)
- Si |f'|<=k sur un intervalle I alors pour tout x,y de I, |f(x)-f(y)|<=k|x-y|
- etc...
Il se déduisent tous du T.A.F. en une ligne, donc on peut systématiquement s'en passer (en rallongent a chaque fois les preuves d'une ligne...)
Donc, si tu ne voit pas du premier coup d'œil quel est le corollaire utile dans l'exo. en question, ben tu prend directement le T.A.F.

Après, la difficulté, dans a peu prés tout ces exos., c'est de trouver quelle est la "bonne" fonction pour appliquer le T.A.F.
Par exemple, ici, il faut visualiser que de prendre n'est a priori pas malin vu que dans la dérivée a un mélange de ln(...) et d'expressions sans logarithme donc que ça va être pas évident à majorer/minorer.

[BiancoAngelo]

A mon sens (donc peut-être avec un peu trop de recul), si on regarde les différents corollaires du T.A.F., à savoir :
- Si f'>0 sur un intervalle I alors f est croissante sur I (idem avec f' f décroissante) (*)
- Si |f'|<=k sur un intervalle I alors pour tout x,y de I, |f(x)-f(y)|<=k|x-y|
- etc...
Il se déduisent tous du T.A.F. en une ligne, donc on peut systématiquement s'en passer (en rallongent a chaque fois les preuves d'une ligne...)
Donc, si tu ne voit pas du premier coup d'œil quel est le corollaire utile dans l'exo. en question, ben tu prend directement le T.A.F.

Après, la difficulté, dans a peu prés tout ces exos., c'est de trouver quelle est la "bonne" fonction pour appliquer le T.A.F.
Par exemple, ici, il faut visualiser que de prendre n'est a priori pas malin vu que dans la dérivée a un mélange de ln(...) et d'expressions sans logarithme donc que ça va être pas évident à majorer/minorer.

En effet, ce que tu as écrit dans la résolution m'avait convaincu de ça. Merci
Et effectivement, le choix de la fonction, il faut avoir un peu d'intuition, ou de temps :ptdr:

[Rik95]

Merci pour vos réponses, j'ai essayer en utilisant une méthode légèrement différente mais grosso modo sa reviens au même je pense

posons f(x) = ln(x+racine(1+x²))

Vu qu'on a C compris entre 0 et x on a donc : C < x donc racine(1+C²) < racine(1+x²) ce qui nous amène a f'(x) > 1/(racine(1+x²))
donc selon les accroissement fini on a : ln(x+racine(1+x²))> x/(racine(1+x²))
et donc 1 +xln(x+racine(1+x²)) > x²/(racine(1+x²)) + 1

Mais arrivé ici je coince, quelqu'un pourrai me donner une indication pour en partant 1 +xln(x+racine(1+x²)) > x²/(racine(1+x²)) + 1 arrivé a 1 +xln(x+racine(1+x²)) > racine(1+x²) svp ?

[Rik95]

petit up, je suis toujours bloquer :(

[Ben314]

Vu qu'on a C compris entre 0 et x on a donc : C 1/(racine(1+x²))
donc selon les accroissement fini on a : ln(x+racine(1+x²))> x/(racine(1+x²)) (2)
et donc 1 +xln(x+racine(1+x²)) > x²/(racine(1+x²)) + 1

Concernant la rédaction, ça ne va pas, vu que rien ne te dit que x>0 donc (1) et (2) ne vont pas.
Si, quand on utilise le T.A.F. dans ce type de situation, on écrit en toute lettre "c est compris entre 0 et x" plutôt qu'une inégalité plus usuelle, ben... y'a une raison...

Pour l'inégalité (1), c'est pas difficile de "rectifier le tir" : comme c est entre 0 et x, on a |c|\frac{1}{\sqrt{1+x^2}[/TEX] et que, si tu multiplie cette inégalité par x0 (on a pris x non nul) et ça te donne puis

Mais arrivé ici je coince, quelqu'un pourrai me donner une indication pour en partant 1 +xln(x+racine(1+x²)) > x²/(racine(1+x²)) + 1 arrivé a 1 +xln(x+racine(1+x²)) > racine(1+x²) svp ?

Il suffit de montrer que c'est à dire que ce qui est évident.

[Rik95]

Je vois ce que tu veux dire, merci pour l'explication Ben :)