Formule du binôme

[Maths-ForumR]

Bonjour
je bloque totalement sur cet exercice :

Soit A l'angle appartenant a ]0;Pi[

1) Montrer que :
Sin((2n+1)A)= sin^((2n+1)) A [ _(k=0 à n) ((2n+1)¦(2j+1)) (-1)^j cotan^(2(n-j) A ]

Pour avoir la partie imaginaire il faut prendre k impaire donc j'ai posé k=2j+1 mais je ne comprend pas le changement d'indice 'n' du sigma ...

Soit Pn: Pn=;)_(k=0 à n) ((2n+1)¦(2j+1)) (-1)^j X^(n-j)
(Ek)= cotan²(;)k/2n+1)

2)a. Prouver que les réels (Ek)1<k<n sont racine de Pn, et qu'ils sont tous distincts.
2)b. Donner alors les racines du polynôme Pn



Pouvez vous m'aider ?
Merci d'avance !!

[BiancoAngelo]

Bonjour
je bloque totalement sur 2 calculs :

Soit A l'angle appartenant a ]0;Pi[

1) Montrer que :
Cos((2n+1)A)+i Sin((2n+1)A)=[;)_(k=0 à 2n+1) ((2n+1)¦k) i^k cotan^((2n+1-k)) A]

Tu es sûr de ton énoncé ?

Je trouve en 4 lignes :

(2n+1)¦k) signifie k parmi 2n+1

2) En déduire que :
Sin((2n+1)A)= sin^((2n+1-k)) A [ _(k=0 à n) ((2n+1)¦(2j+1)) (-1)^j cotan^(2(n-j) A ]

Un k en dehors de la somme, mais bien sûr :lol3:
Donc, es-tu sûr de tes énoncés, encore une fois !? :lol3:

[Maths-ForumR]

Oui pardon le résultat que vous trouver est Just pour la question 1 pouvez vos me montrer comment vous avez fait ?

Et encore une fois pardon le sinus hors de la somme ne contient pas de "-k"

[BiancoAngelo]

Avec le binôme de Newton, on a :



Puis en multipliant en haut et en bas dans la somme par , tu obtiendras cette dernière ligne :

[Maths-ForumR]

Très bien merci beaucoup !

J'ai réussi a calculer la 2eme somme juste je ne comprend pas pourquoi le sigma va jusqu’à n et plus 2n+1 pouvez vous m’expliquer ?

[BiancoAngelo]

Très bien merci beaucoup !

J'ai réussi a calculer la 2eme somme juste je ne comprend pas pourquoi le sigma va jusqu’à n et plus 2n+1 pouvez vous m’expliquer ?

Si tu fais un changement de variable style i = 2k + 1 pour prendre tous les impairs, il est évident qu'il faille prendre k de 0 à n pour parcourir tous les impairs de 1 à 2n+1, non ? :lol3:

[Maths-ForumR]

Ah oui je n'avais pas vue merci

Et avez vous une piste pour répondre a la question 2)a. ?

[BiancoAngelo]

Ah oui je n'avais pas vue merci

Et avez vous une piste pour répondre a la question 2)a. ?

Là, je n'écris pas le détail car je suis fatigué, mais il suffit d'appliquer l'égalité qu'on vient de montrer (avec le changement d'indice).

Tu remplaces A par ce qu'il y a dans la cotan et ça va aller ! :we:

[Maths-ForumR]

Très bien je vais essayé merci :)
Voila j’obtiens :

Sin (k.;))=Sin^(2n+1) ((;).k)/(2n+1)) [;)_(k=0 à n) (2n+1¦2j+1) (-1)^j cotan²^((n-j) (;).k)/(2n+1))]


Donc Pn ( (;).k)/(2n+1))=(Sin (k.;)) )/(Sin^(2n+1 ) ((;).k)/(2n+1))) = 0

[BiancoAngelo]

Très bien je vais essayé merci
Voila j’obtiens :

Sin (k.)=Sin^(2n+1) ((;).k)/(2n+1)) [;)_(k=0 à n) (2n+1¦2j+1) (-1)^j cotan²^((n-j) (;).k)/(2n+1))]

C'est quand même compliqué à déchiffrer

Ce qui compte, c'est de prendre et de voir que du coup, .

La somme fait donc 0 pour cette valeur de A...

[Maths-ForumR]

Ce n'est pas soit la Somme=0 soit Sin^(2n+1)=0 ?

[BiancoAngelo]

2)a. Prouver que les réels (Ek)1<k<n sont racine de Pn, et qu'ils sont tous distincts.
2)b. Donner alors les racines du polynôme Pn

J'ai encore peur que l'énoncé soit faux, à moins que ce soit moi qui sois parano !

Si on nous demande en a) de montrer que les sont racines de et en b) il faut les donner...

[Maths-ForumR]

Pourtant c'est bien l'énoncé qu'on me donne je viens de vérifier

[BiancoAngelo]

Ce n'est pas soit la Somme=0 soit Sin^(2n+1)=0 ?

Ah si... c'est encore l'énoncé du premier post qui est faux :mur: .

Faudrait l'écrire proprement...

[BiancoAngelo]

Faudrait réécrire correctement les résultats. Tu ne peux pas le faire en latex.
Je n'arrive plus à t'aider, je passe toujours deux heures à déchiffrer toutes les lignes... :mur:

[Maths-ForumR]

Je ne sais pas le faire en latex :/

[Maths-ForumR]

Pour la 2)a.
Au final j'ai marqué : P(Ek) = [Sin (k;))] / [sin^(2n+1) (k;)/2n+1)] = 0
Donc les Ek sont racine de Pn

Mais comment prouver qu'il sont distincts ?

Les (Ek) sont racine de Pn et tous distincts.
Pour j=0 le degrés de Pn est n et la coefficient dominant est 2n+1
On déduit la factorisation suivante : P(X)=(2n+1) Produit (K=0 à n) (X-Ek)
Mon résonnement est il juste et surtout ma rédaction est elle compréhensible ? :)
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