Formulation variationnelle d'une EDP / Lax-Milgram

[zwijndrecht]

Bonjour,

Je cherche à résoudre le problème suivant :
Soit , dans et .
On cherche une solution telle que :

1) Déterminer la formulation variationnelle de ce problème
2) Montrer qu'il existe tel que si , le théorème de Lax-Milgram assure l'existence et l'unicité d'une solution de ce problème.

Pour la question 1, j'ai trouvé :
Soit .
On cherche telle que, pour tout ,
, ce qui donne :

(en utilisant la formule de Green et le fait que soit nulle au bord).

Pour la question 2, j'ai posé :
(bilinéaire continue)
(linéaire continue)
Pour appliquer Lax-Milgram, il faut montrer que la forme bilinéaire continue est coercive, i.e. qu'il existe tel que , pour tout .
On a :

, où est la constante obtenue via l'inégalité de Poincarré (applicable car est un ouvert régulier borné)

Mais ensuite, je ne vois pas comment minorer le second terme...

Pourriez-vous me mettre sur la voie ?

Merci d'avance pour votre aide.

[phyelec]

bonjour,

En général, pour prouver l'unicité, il faut supposer qu'il y a deux solutions. Prendre deux solution u1 et u2,puis v=u1-u2.

[zwijndrecht]

Bonsoir,
Merci pour votre réponse, mais là l'idée de l'exo c'est plutôt d'appliquer Lax-Milgram (pour avoir l'existence), ce qui donne aussi (d'une pierre deux coups) l'unicité...

[zwijndrecht]

Personne ne voit comment minorer l'égalité de manière à pouvoir appliquer Lax-Milgram ?
Je suis vraiment bloqué...

[issoram]

Bonsoir,

Je pense que vous pourriez trouver votre bonheur ici (exo 5.2.2).
http://www.cmap.polytechnique.fr/~allai ... pitre5.pdf

[zwijndrecht]

Merci pour votre réponse... mais ce n'est pas exactement la même équation (et sans le devant le gradient, la minoration est en effet beaucoup plus simple à trouver...)

[issoram]

Bonjour,

Ex5.2.2: C'est presque la même équation...
A la place de x, vous avez: V une fonction vectorielle telle que div V = 0.

Il suffit de reprendre la partie sur la coercivité avec x à la place de V.
Vous n'avez plus div V = 0 mais div x = ... et ensuite vous pouvez conclure il me semble non?

[zwijndrecht]

Autant pour moi, j'avais regardé la 1ère...
Dans le 5.2.2, je ne vois pas comment ils arrivent à faire intervenir la divergence, ni même l'intégration par parties...
D'où vient l'égalité

Je ne comprends pas non plus ce qu'ils appellent "intégration par parties"... (dans ...)
Personnellement, je connais juste la formule de Green comme "généralisation" de l'IPP...

[issoram]

Vous en appelez à de lointains souvenirs

Pour l'égalité elle vient de la règle suivante (divergence d'un produit):

Si est à valeurs scalaires et à valeurs vectorielles on a:
où . désigne le produit scalaire

L'intégration par partie fait référence à cette formule:



Plus de détails ici (partie intégration par parties à plusieurs variables):
https://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9 ... ar_parties.

Avec tout ça vous pouvez finir votre exo

[zwijndrecht]

Ok, merci beaucoup !
Du coup, en notant , j'obtiens et donc :



Et donc ,
ce qui donne ..
Mais du coup, on peut appliquer Lax-Milgram quelque soit la valeur de ??? (un peu étrange au vu de l'énoncé...)

[issoram]

Bonsoir,

Ce qui donne plutôt :


Du coup, pour appliquer Lax-Milgram, la condition de coercivité devient :


C'est ça qui doit faire le lien avec la 2e question puisque , la constante de Poincaré, dépend du domaine et donc ici du rayon de la boule choisi.
Mais là, ça dépasse mes compétences

[zwijndrecht]

Ok, merci beaucoup pour votre aide !

[issoram]

Si jamais vous corrigiez la 2e question en cours, ça m'intéresserait.