Formulation variationnelle

[kechkar]

bonjour, je veux savoir comment faire le choix de l'espace de la solution d'un problème (équations aux dérivées partielles)aux limites étant donné sa formulation variationnelle. merci.

[ShakkaChan]

en fonction du fait si condition au limite a un sens dans l'espace

pour les problème d'ordre 2 (type laplacien)
tu te place dans H1 car ta formulation variationnelle n'utilise que de la dérivée première

après pour ce qui est des conditions ca dépend
pour du dirichlet, U=g sur le bord a un sens dans H1 car la trace existe donc tu prend H1,0.
Pour du neumann, si une fonction est H1 , sa dérivée est dans L2 donc on peut pas fixe une valeur au bord sur la dérivé ( car cela n'as pas de sens dans L2) donc tu te contente de H1 comme espace pour le problème.

pour le bilaplacien
tu te place dans H2 car tu aura des dérivée seconde dans la formulation variationnelle
et tu peux mettre dans ton espace ,des valeur au bord sur la fonction et sa dérivée mais pas la dérivée seconde par le même principe

[kazeriahm]

après pour ce qui est des conditions ca dépend
pour du dirichlet, U=g sur le bord a un sens dans H1 car la trace existe donc tu prend H1,0.

Si U=g au bord on ne prend pas H_0^1 mais bien H^1.

Parcontre si U=0 au bord alors effectivement on prend H_0^1.

En gros il faut chercher à travailler sur le plus gros espace dans lequel les fonctions vérifient ce qui ne peut pas être exprimé par la formulation variationelle.

En particulier sur les problèmes classiques, la condition au bord de Dirichlet homogène (U=0 au bord) ne peut pas être exprimée par la formulation variationelle, c'est pourquoi on impose cette condition à l'espace de travail, qui dont être contenu dans H^1, ce qui donne H_0^1

[ShakkaChan]

autre solution pour U=g on pose un changement de variable de facon a se ramener a u=0 et hop on prend H1,0