Formes quadratiques

[lisonn]

Bonjour,

Je me mélange dans les définitions de mon cours sur les espaces quadratiques et je bloque sur un exo tout simple:

On a

Je dois trouver la forme bilinéaire symétrique associée, une base dans laquelle elle est orthogonale, sa signature et son noyau.

Pour la fbs, est ce qu'écrire la matrice associée suffit?

Pour la base je ne comprends pas la question....quel sens donne t-on à une forme quadratique orthogonale?

[e2_68]

Ta matrice est correcte.
On cherche une base (w1 ; w2 ; w3) qui soit orthogonale pour ta FBS. (c'est en tout cas comme ça que je comprends l'exo).

Donc = 0 , = 0, = 0.
Autrement dit, on te demande de diagonaliser ta matrice.
Le plus simple pour diagonaliser, ça reste de partir de ta forme quadratique.
Tu dois triturer ton expression pour la mettre sous formes de carrés "indépendants". Tu trouves alors tout de suite la signature et une base (w1 ; w2 ; w3). Tu as dû voir en cours des méthodes pour ça.

Si tu as besoin de plus de détails, n'hésite pas.

[lisonn]

Merci pour ta réponse.

J'ai diagonalisé ma forme q, je trouve
J'ai vérifié, normalement c'est bon.

Donc la signature est (2,1) et pour la base je trouve et
Le seul problème c'est que ces vecteurs ne forment pas une base orthogonale......

[e2_68]

Ils ne forment pas une base orthogonale pour le produit scalaire usuel mais pour la FBS :
x,y -> (transposé de x) * M * y

Exemple :
(1 , 0, 0) * M * w2 = 0

[lisonn]

Ok j'ai compris.
Merci beaucoup!