Forme différentielle (espace dim 3)

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Cryptocatron-11
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Forme différentielle (espace dim 3)

par Cryptocatron-11 » 08 Aoû 2012, 19:37

Bonjour,

Lorsqu'on a une 1-forme différentielle :

;) = P(x,y) dx + Q(x,y) dy . ;) n'est pas la différentielle d'une fonction f(x,y).

En parcourant un petit rectangle infinésimal (du classique) J'arrive à voir que

Maintenant j'ai essayé de suivre le même raisonnement mais dans espace à plus de dimensions. J'ai essayé avec 3 dimensions.
En reprenant le même raisonnement qu'au dessus on aurait ;) = P(x,y,z) dx + Q(x,y,z) dy + R(x,y,z) dz.

On se déplace sur les arrêtes d'un cube.

L'intégrale de P(x,y,z)dx sur le premier morceau qui va de (x,y,z) à (x+dx,y,z), par définition de la 1-forme dx, c'est l'intégrale pour t=0 à dx, de P(x+t,y,z)*1dt.

L'intégrale de P(x,y,z)dx sur le quatrième morceau qui va de (x+dx,y+dy,z+dz) à (x,y+dy,z+dz), par définition de la 1-forme dx, c'est l'intégrale pour t=0 à dx, de P(x+dx-t,y+dy,z+dz)*-dt.

Donc l'intégrale de ;) sur la réunion du 1er et du 4ème morceau, elle, ça donne
l'intégrale pour t=0 à dx, de P(x+t,y,z)*dt + P(x+dx-t,y+dy,z+dz)*(-dt)
= intégrale pour t=0 à dx de (P(x+t,y,z) - P(x+t,y+dy,z+dz))*dt
après j'ai peur de faire une bêtise. Je devrais arriver à une triple intégrale mais je vois pas comment ... Quelqu'un peut me montrer ?



Doraki
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par Doraki » 09 Aoû 2012, 00:58

D'abord il faut comprendre ce qu'est une 2-forme différentielle dans l'espace.

C'est un truc qui s'intègre sur une surface, et de plus on veut que ce soit localement une forme bilinéaire alternée, au sens suivant :
si on a un petit parallélogramme de cotés a et b (deux petits vecteurs), plus un petit parallélogramme de cotés a et c, la somme des deux intégrales donne la même chose que l'intégrale sur le parallélograme de cotés a et (b+c). De plus, l'intégrale doit donner 0 lorsque le parallélogramme est d'aire nulle (lorsque les deux cotés sont colinéaires).

Soit (e1,e2,e3) une base de R^3.
Si f est une telle application bilinéaire alternée, on a par bilinéarité que pour connaître f, il suffit de connaître f(e1,e1), f(e1,e2), f(e1,e3), f(e2,e1), ..., f(e3,e3).
Comme f est alternée, f(x,x) = 0 pour tout vecteur x de R^3, donc f(e1,e1) = f(e2,e2) = f(e3,e3) = 0.
De plus, f(e1+e2,e1+e2) = 0 donc f(e1,e2) + f(e2,e1) = 0 : f(e1,e2) = - f(e2,e1).
Donc finalement, l'ensemble des formes bilinéaires alternées sur R^3, est de dimension 3 : connaître f revient à connaître f(e1,e2), f(e1,e3), et f(e2,e3) :

f(x1.e1 + y1.e2 + z1.e3, x2.e1 + y2.e2 + z2.e3) = f(e1,e2)*(x1y2-y1x2) + f(e1,e3)*(x1z2-z1x2) + f(e2,e3)*(y1z2-z1y2)
On appelle dx^dy, dx^dz, dy^dz la base duale de ((e1,e2),(e1,e3),(e2,e3)) (la base qu'on vient de trouver du dual de l'ensemble des formes bilinéaires alternées), ce qui veut dire que par exemple (dx^dy)(x1e1+...,...+z2e3) = x1y2-y1x2, et que
f = f(e1,e2)*dx^dy + f(e1,e3)*dx^dz + f(e2,e3)*dy^dz.

Maintenant on peut reformuler tout ça sans utiliser de base explicite en définissant une opération "^" qui prend deux 1-formes linéaires et qui renvoie une 2-forme bilinéaire alternée, de sorte que lorsque (dx,dy,dz) est la base duale de (e1,e2,e3), eh bien on trouve que dx^dy est ce que je viens de définir, et en plus que ^ est une application bilinéaire alternée, ce qui donne toutes les règles de calcul nécessaires pour faire les calculs facilement.
En regardant ce qu'on a au-dessus, on a (dx^dy)(x1.e1 + y1.e2 + z1.e3, x2.e1 + y2.e2 + z2.e3)
= (x1y2-y1x2), donc (dx^dy)(u,v) = dx(u)*dy(v)-dy(u)*dx(v).
Donc ben on a qu'à définir bêtement "pour toutes 1-formes ;)1 et ;)2 et pour tous vecteurs u et v, on définit la 2-forme ;)1^;)2 par ;)1^;)2(u,v) = ;)1(u);)2(v)-;)1(v);)2(u)".
Et ça donne bien une application bilinéaire alternée de l'ensemble des 1-formes linéaires de R^3 dans l'ensemble des 2-formes bilinéaires alternées de R^3.

Ensuite, on arrive aux différentielles de 1-formes :

la différentielle de ;), c'est la 2-forme telle que si tu l'intègres sur une surface, tu obtiens l'intégrale de ;) sur le contour de cette surface (l'orientation de la surface détermine l'orientation du contour. si tu te gourres de sens, tu as une erreur de signes à la fin)

On a vu que pour connaître d;), il suffit de connaître ses coordonnées dans la base (dx^dy, dx^dz, dy^dz), c'est-à-dire ses valeurs sur des petits parallélogrammes (e1,e2), (e1,e3), et (e2,e3).
Par exemple pour (dx^dy), ça correspond donc à la limite de 1/;)x;)y * l'intégrale de ;) sur le contour du carré (x,y,z) -> (x+;)x,y,z) -> (x+;)x,y+;)y,dz) -> (x,y+;)y,z) -> (x,y,z).
Si ;) = P(x,y,z) dx + Q(x,y,z) dy + R(x,y,z) dz, on calcule cette intégrale et on trouve donc
(P(x,y,z) ;)x + Q(x+;)x,y,z) ;)y - P(x,y+;)y,z) ;)x - Q(x,y,z) ;)y)/;)x;)y, ce qui est équivalent à
dQ/dx (x,y,z) - dP/dy (x,y,z).

On fait pareil pour les autres, et on trouve finalement que :
d(;)) = d(P dx + Q dy + R dz) =[dQ/dx - dP/dy].dx^dy + [dR/dx - dP/dz].dx^dz + [dR/dy - dQ/dz].dy^dz
On peut réécrire ce résultat en termes des 1-formes dP = (dP/dx).dx + (dP/dy).dy + (dP/dz).dz, dQ et dR, et tu peux vérifier que :
d(P dx + Q dy + R dz) = dP ^ dx + dQ ^ dy + dR ^ dz.

En règle général on peut définir d : ;)k(R^n) -> ;)(k+1)(R^n) ; et ^ : ;)k(R^n) * ;)k'(R^n) -> ;)(k+k')(R^n), de sorte que d(d(;))) = 0, d(;)1^;)2) = d(;)1)^;)2 + (-1)^k ;)1^d(;)2) (où ;)1 est une k-forme). On peut faire aveuglément tous les calculs juste en utilisant ces deux règles, en plus de la linéarité de d et ^, et l'alternance de ^.

J'aimerais bien avoir une interprétation géométrique de ^ (comme j'ai pour la différentielle), mais je crois pas que y'en ait qui aide à comprendre.

Cryptocatron-11
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par Cryptocatron-11 » 10 Aoû 2012, 01:18

Doraki a écrit:On a vu que pour connaître d;), il suffit de connaître ses coordonnées dans la base (dx^dy, dx^dz, dy^dz), c'est-à-dire ses valeurs sur des petits parallélogrammes (e1,e2), (e1,e3), et (e2,e3).
Par exemple pour (dx^dy), ça correspond donc à la limite de 1/;)x;)y * l'intégrale de ;) sur le contour du carré (x,y,z) -> (x+;)x,y,z) -> (x+;)x,y+;)y,dz) -> (x,y+;)y,z) -> (x,y,z).
Si ;) = P(x,y,z) dx + Q(x,y,z) dy + R(x,y,z) dz, on calcule cette intégrale et on trouve donc
(P(x,y,z) ;)x + Q(x+;)x,y,z) ;)y - P(x,y+;)y,z) ;)x - Q(x,y,z) ;)y)/;)x;)y, ce qui est équivalent à
dQ/dx (x,y,z) - dP/dy (x,y,z).

|e1| = ;)x ?

parce que en effet on a f = f(e1,e2)*dx^dy + f(e1,e3)*dx^dz + f(e2,e3)*dy^dz

mais si j'ai bien compris f(e1,e2) c'est la valeur de (l'intégrale ou de f ?) sur le parralèlogramme de coté |e1| et |e2|

non ?

Doraki
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par Doraki » 10 Aoû 2012, 01:34

D'un coté il y a une application bilinéaire f gentille où il suffit de connaître 3 valeurs pour la connaître entièrement, et de l'autre il y a la fonction "intégrale sur tel parallélogramme", pour laquelle on suppose seulement que plus le parallélogramme est petit, plus il se rapproche d'une fonction bilinéaire f.
Chercher d;) c'est chercher en chaque point quelle est cette application bilinéaire.

Donc en fait je voulais dire que pour déterminer l'application bilinéaire correspondante, il faut évaluer l'intégrale sur des parallélogrammes de plus en plus petits et après avoir renormalisé, regarder sa limite, pour obtenir ce qu'on veut savoir sur l'application bilinéaire qu'on cherche.
C'est exactement comme quand tu veux calculer une dérivée. Calculer une dérivée c'est chercher l'application linéaire qui colle à ta fonction quand tu prends des écarts touts petits. Ici on fait la même chose mais en prenant des petits parallélogrammes.

Cryptocatron-11
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par Cryptocatron-11 » 10 Aoû 2012, 01:57

Ah OK, c'est pour ça qu'on dit que la circulation du rotationnel est locale. Du coup, ça répond à ce post que j'ai aussi lancé hier soir
Cryptocatron-11 a écrit:Bonsoir,

J'ai tapé rotationnel sur Wikipédia et il y avait écrit ça en intro
Plus difficile à se représenter aussi précisément que le gradient et la divergence, il exprime la tendance qu'ont les lignes de champ d'un champ vectoriel à tourner autour d'un point : sa circulation locale sur un petit lacet entourant ce point est non nulle quand son rotationnel ne l'est pas

Je ne comprend pas ce qu'ils entendent par " locale "..Je me torture à trouver une explication , en vain :hum:
Qu'est ce que ça fait si c'est pas local ?


Mais par contre, je ne comprends pas trop pourquoi tu rajoutes ce 1/;)x;)y . Au début j'ai pensé que tu mettais ça pour equilibrer avec l'integrale de w mais après t'écris ça w=(P(x,y,z) ;)x + Q(x+;)x,y,z) ;)y - P(x,y+;)y,z) ;)x - Q(x,y,z) ;)y)/;)x;)y.
C'est pas plutôt w=(P(x,y,z) ;)x + Q(x+;)x,y,z) ;)y - P(x,y+;)y,z) ;)x - Q(x,y,z) ;)y)*;)x;)y ?

Doraki
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par Doraki » 10 Aoû 2012, 10:46

Quand tu calcules une dérivée, tu cherches la fonction linéaire l telle que f(x+;)x) = f(x) + l(;)x) est une bonne approximation quand ;)x tend vers 0.
Donc comme une fonction linéaire c'est de la forme ;)x -> a*;)x, il suffit de déterminer a, et donc tu regardes la limite quand ;)x -> 0 de (f(x+;)x)-f(x)) / ;)x.

Ici tu cherches la fonction bilinéaire alternée l telle que (intégrale de d;) sur le parallélogramme x -> x+u -> x+u+v -> x+v -> x) = l(u,v) est une bonne approximation lorsque u et v tendent vers 0.
Donc tu sais que l est de la forme a*dx^dy + b*dx^dz + c*dy^dz, il suffit donc de déterminer a,b, et c.
Pour trouver a on prend u = (;)x,0,0) et v = (0,;)y,0), parceque avec ce choix là, (dx^dy)(u,v) = ;)x;)y ; (dx^dz)(u,v) = 0 ; (dy^dz)(u,v) = 0. Donc pour obtenir a on fait tendre ;)x et ;)y vers 0 et on regarde 1/;)x;)y * l'intégrale sur le parallélogramme de cotés (;)x,0,0) et (0,;)y,0).
Ensuite on dit que l'intégrale de d;) sur un parallélogramme c'est l'intégrale de ;) sur le contour de ce parallélogramme puis on calcule.

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par Cryptocatron-11 » 05 Sep 2012, 21:04

1 ère chose :

Doraki a écrit:J'aimerais bien avoir une interprétation géométrique de ^ (comme j'ai pour la différentielle), mais je crois pas que y'en ait qui aide à comprendre.

Ce signe " ^ " désigne une application qui prend deux 1-formes différentielles et qui renvoie une 2-forme différentielle. Mais est ce que ^ designe le produit extérieur ?

En suivant ton raisonnement dans l'exemple ci dessus, on a (dx^dy)(x1.e1 + y1.e2 + z1.e3, x2.e1 + y2.e2 + z2.e3) = (x1y2-y1x2). Cela signifie que :
(dx^dy)(e1,e2) = 1
(dx^dy)(e1,e3) = 0
(dx^dy)(e2,e3) = 0

Je ne comprends pas trop pourquoi par exemple (dx^dy)(e1,e3) = 0 . Si tu as une interprétation géométrique de ^ , j'aimerais bien que tu me la donnes bien qu'elle n'aide pas à comprendre.


2 ème chose :

Tu écris
Si ;) = P(x,y,z) dx + Q(x,y,z) dy + R(x,y,z) dz, on ...
puis
d(;)) = d(P dx + Q dy + R dz)
ce qui veut dire que ;) = P dx + Q dy + R dz.

Rassure-moi, tes deux ;) veulent dire deux trucs différents dans ces deux citations, n'est ce pas ? car on ne peut pas dire que P dx + Q dy + R dz est égal à P(x,y,z) dx + Q(x,y,z) dy + R(x,y,z) dz

Ecrire ;) = P dx + Q dy + R dz me surprend. car P, Q et R ne sont pas des rééls mais des fonctions.

Doraki
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par Doraki » 06 Sep 2012, 12:45

Cryptocatron-11 a écrit:Ce signe " ^ " désigne une application qui prend deux 1-formes différentielles et qui renvoie une 2-forme différentielle. Mais est ce que ^ designe le produit extérieur ?

oui.
En suivant ton raisonnement dans l'exemple ci dessus, on a (dx^dy)(x1.e1 + y1.e2 + z1.e3, x2.e1 + y2.e2 + z2.e3) = (x1y2-y1x2). Cela signifie que :
(dx^dy)(e1,e2) = 1
(dx^dy)(e1,e3) = 0
(dx^dy)(e2,e3) = 0

oui.
f(x1.e1 + y1.e2 + z1.e3, x2.e1 + y2.e2 + z2.e3) = f(e1,e2)*(x1y2-y1x2) + f(e1,e3)*(x1z2-z1x2) + f(e2,e3)*(y1z2-z1y2)
On appelle dx^dy, dx^dz, dy^dz la base duale de ((e1,e2),(e1,e3),(e2,e3)) (la base qu'on vient de trouver du dual de l'ensemble des formes bilinéaires alternées), ce qui veut dire que par exemple (dx^dy)(x1e1+...,...+z2e3) = x1y2-y1x2, et que
f = f(e1,e2)*dx^dy + f(e1,e3)*dx^dz + f(e2,e3)*dy^dz.

Par définirion, dx^dy est l'application bilinéaire alternée telle que dx^dy (e1,e2) = 1, dx^dy (e1,e3) = 0, et dx^dy (e2,e3) = 0.
2 ème chose :

Tu écris
puis ce qui veut dire que ;) = P dx + Q dy + R dz.

Rassure-moi, tes deux ;) veulent dire deux trucs différents dans ces deux citations, n'est ce pas ? car on ne peut pas dire que P dx + Q dy + R dz est égal à P(x,y,z) dx + Q(x,y,z) dy + R(x,y,z) dz

Ecrire ;) = P dx + Q dy + R dz me surprend. car P, Q et R ne sont pas des rééls mais des fonctions.

non c'est la même chose, j'ai juste eu la flemme de répéter les évalutations en (x,y,z) partout. Donc si ça te gêne remplace P par P(x,y,z), dP/dx par (dP/dx)(x,y,z) et dP par (dP/dx)(x,y,z)dx + (dP/dy)(x,y,z)dy + (dP/dz)(x,y,z)dz

Aussi j'ai la flemme de répéter les évaluations en u et v partout.
Et puis ce sont des vecteurs : donc pour vérifier que je fais pas n'importe quoi tu évalues tout en (xu,yu,zu),(xv,yv,zv) mais maintenant l'ennui c'est que chaque ligne fait trois pages.

Cryptocatron-11
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par Cryptocatron-11 » 06 Sep 2012, 20:16

Ai-je aussi le droit dévaluer ;) ? comme par exemple, ;)(x,y,z) = P(x,y,z) dx + Q(x,y,z) dy + R(x,y,z) dz ? C'est faux ça non ? :hum: ou alors écrire ;)=f(x,y,z), pas le droit non plus ? mais y'a un gros truc qui m'échappe dans ça. En essayant de faire le rapprochement avec la physique, j'ai un exemple avec lequel ça coince.

Pour reprendre avec ton analogie :
Quand tu calcules une dérivée, tu cherches la fonction linéaire l telle que f(x+;)x) = f(x) + l(;)x) est une bonne approximation quand ;)x tend vers 0.
Donc comme une fonction linéaire c'est de la forme ;)x -> a*;)x, il suffit de déterminer a, et donc tu regardes la limite quand ;)x -> 0 de (f(x+;)x)-f(x)) / ;)x.
On avait f(x+;)x) - f(x) = l(;)x) = l(e1).;)x = l(e1)*dx(;)x)
D'où l(e1)= limite quand ;)x -> 0 de (f(x+;)x)-f(x)) / ;)x = f ' (x)
et donc l = l(e1)*dx = f ' (x)*dx

j'ai aussi vu écrire plein de fois df(x)=f ' (x)*dx

ça revient donc à dire que l=df(x) . Et là ben on évalue df en x donc ...

En plus dans ce que je viens de dire là, a priori il n'y a pas d'erreur d'écriture.

Doraki
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par Doraki » 06 Sep 2012, 23:57

oui la fonction linéaire (donc le nombre dérivé l) il dépend de x, et de même en dimension 3, tous les coefficients dépendent de x y et z. C'est juste que écrire ;)(x,y,z)(u,v) partout, à force c'est fatigant.

T'as un exemple concret sur lequel tu veux bosser ?

Cryptocatron-11
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par Cryptocatron-11 » 07 Sep 2012, 02:47

Doraki a écrit:oui la fonction linéaire (donc le nombre dérivé l) il dépend de x, et de même en dimension 3, tous les coefficients dépendent de x y et z. C'est juste que écrire ;)(x,y,z)(u,v) partout, à force c'est fatigant.
Je pense donc avoir compris.

Doraki a écrit:T'as un exemple concret sur lequel tu veux bosser ?
C'était un exemple qui reprenait ça mais d'un point de vue physique. Par contre je vais avoir un peu de mal à "bien" l'écrire (je ne maîtrise pas encore bien le langage). Donc si tu ne comprends pas, ne t'embête pas à lire c'est pas bien grave.

On a un fil F rectiligne de masse m et de longueur L. J'ai un problème, mon fil est inhomogène (il y a des endroits où il y a une masse plus importante qu'à d'autres endroits du fil) . Je veux rendre compte des effets de cette inhomogénéité. Pour cela, Je découpe mon fil F en n fils plus petits qu'on suppose homogène pour le problème. Je fais tendre n vers l'infini, donc je découpe mon fil en une infinité de fils qui mesurent chacun une longueur infinitésimale et qui ont chacun une masse infinitésimale dm(;)x.e1). La masse totale de F est alors trivialement la somme des masses de chaque petit fil homogène.
Il vient donc que : une somme infinie d'infinitésimaux.

m c'est la masse du fil F de longueur L et disons qu'il fait 18 kg. C'est une constante. Ecrire m(x) comme étant la masse d'un point x, ça n'a pas de sens. A la limite, je peux écrire m=f(x) avec f une fonction définie sur [0;L] qui indique la masse du fil de longueur variable x, c'est à dire du point 0 ( extrémité du début du fil ) au point x (autre extrémité où je m'arrête). Là je peux dire que la masse du fil F varie car sa longueur x varie. f est donc une fonction croissante sur [0;L], c'est normal, on parcourt notre fil en ajoutant " de la masse " .

On a dit que m=f(x) et donc dm=(df)(x). Pour t'y retrouver , ce que j'appelle dm c'est en fait ta fonction linéaire l ( avec dm(;)x.e1) = masse d'un fil de taille infinitésimal, ;)x->0). Elle sera à déterminer sur chaque x. Et on voit bien qu'elle dépend de x. En effet, m varie suivant la taille du fil.

Voilà, je crois que j'en ai terminé avec ça. Je trouve aussi pas bien naturel que d'intégrer des formes différentielles.

Doraki
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par Doraki » 07 Sep 2012, 13:58

la 1-forme différentielle "dm" s'appelle la masse linéique du fil. C'est la 1-forme qui quand tu l'intègres sur un segment du fil, te donne la masse de ce segment de fil.

 

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