par Doraki » 09 Aoû 2012, 00:58
D'abord il faut comprendre ce qu'est une 2-forme différentielle dans l'espace.
C'est un truc qui s'intègre sur une surface, et de plus on veut que ce soit localement une forme bilinéaire alternée, au sens suivant :
si on a un petit parallélogramme de cotés a et b (deux petits vecteurs), plus un petit parallélogramme de cotés a et c, la somme des deux intégrales donne la même chose que l'intégrale sur le parallélograme de cotés a et (b+c). De plus, l'intégrale doit donner 0 lorsque le parallélogramme est d'aire nulle (lorsque les deux cotés sont colinéaires).
Soit (e1,e2,e3) une base de R^3.
Si f est une telle application bilinéaire alternée, on a par bilinéarité que pour connaître f, il suffit de connaître f(e1,e1), f(e1,e2), f(e1,e3), f(e2,e1), ..., f(e3,e3).
Comme f est alternée, f(x,x) = 0 pour tout vecteur x de R^3, donc f(e1,e1) = f(e2,e2) = f(e3,e3) = 0.
De plus, f(e1+e2,e1+e2) = 0 donc f(e1,e2) + f(e2,e1) = 0 : f(e1,e2) = - f(e2,e1).
Donc finalement, l'ensemble des formes bilinéaires alternées sur R^3, est de dimension 3 : connaître f revient à connaître f(e1,e2), f(e1,e3), et f(e2,e3) :
f(x1.e1 + y1.e2 + z1.e3, x2.e1 + y2.e2 + z2.e3) = f(e1,e2)*(x1y2-y1x2) + f(e1,e3)*(x1z2-z1x2) + f(e2,e3)*(y1z2-z1y2)
On appelle dx^dy, dx^dz, dy^dz la base duale de ((e1,e2),(e1,e3),(e2,e3)) (la base qu'on vient de trouver du dual de l'ensemble des formes bilinéaires alternées), ce qui veut dire que par exemple (dx^dy)(x1e1+...,...+z2e3) = x1y2-y1x2, et que
f = f(e1,e2)*dx^dy + f(e1,e3)*dx^dz + f(e2,e3)*dy^dz.
Maintenant on peut reformuler tout ça sans utiliser de base explicite en définissant une opération "^" qui prend deux 1-formes linéaires et qui renvoie une 2-forme bilinéaire alternée, de sorte que lorsque (dx,dy,dz) est la base duale de (e1,e2,e3), eh bien on trouve que dx^dy est ce que je viens de définir, et en plus que ^ est une application bilinéaire alternée, ce qui donne toutes les règles de calcul nécessaires pour faire les calculs facilement.
En regardant ce qu'on a au-dessus, on a (dx^dy)(x1.e1 + y1.e2 + z1.e3, x2.e1 + y2.e2 + z2.e3)
= (x1y2-y1x2), donc (dx^dy)(u,v) = dx(u)*dy(v)-dy(u)*dx(v).
Donc ben on a qu'à définir bêtement "pour toutes 1-formes ;)1 et ;)2 et pour tous vecteurs u et v, on définit la 2-forme ;)1^;)2 par ;)1^;)2(u,v) = ;)1(u);)2(v)-;)1(v);)2(u)".
Et ça donne bien une application bilinéaire alternée de l'ensemble des 1-formes linéaires de R^3 dans l'ensemble des 2-formes bilinéaires alternées de R^3.
Ensuite, on arrive aux différentielles de 1-formes :
la différentielle de ;), c'est la 2-forme telle que si tu l'intègres sur une surface, tu obtiens l'intégrale de ;) sur le contour de cette surface (l'orientation de la surface détermine l'orientation du contour. si tu te gourres de sens, tu as une erreur de signes à la fin)
On a vu que pour connaître d;), il suffit de connaître ses coordonnées dans la base (dx^dy, dx^dz, dy^dz), c'est-à-dire ses valeurs sur des petits parallélogrammes (e1,e2), (e1,e3), et (e2,e3).
Par exemple pour (dx^dy), ça correspond donc à la limite de 1/;)x;)y * l'intégrale de ;) sur le contour du carré (x,y,z) -> (x+;)x,y,z) -> (x+;)x,y+;)y,dz) -> (x,y+;)y,z) -> (x,y,z).
Si ;) = P(x,y,z) dx + Q(x,y,z) dy + R(x,y,z) dz, on calcule cette intégrale et on trouve donc
(P(x,y,z) ;)x + Q(x+;)x,y,z) ;)y - P(x,y+;)y,z) ;)x - Q(x,y,z) ;)y)/;)x;)y, ce qui est équivalent à
dQ/dx (x,y,z) - dP/dy (x,y,z).
On fait pareil pour les autres, et on trouve finalement que :
d(;)) = d(P dx + Q dy + R dz) =[dQ/dx - dP/dy].dx^dy + [dR/dx - dP/dz].dx^dz + [dR/dy - dQ/dz].dy^dz
On peut réécrire ce résultat en termes des 1-formes dP = (dP/dx).dx + (dP/dy).dy + (dP/dz).dz, dQ et dR, et tu peux vérifier que :
d(P dx + Q dy + R dz) = dP ^ dx + dQ ^ dy + dR ^ dz.
En règle général on peut définir d : ;)k(R^n) -> ;)(k+1)(R^n) ; et ^ : ;)k(R^n) * ;)k'(R^n) -> ;)(k+k')(R^n), de sorte que d(d(;))) = 0, d(;)1^;)2) = d(;)1)^;)2 + (-1)^k ;)1^d(;)2) (où ;)1 est une k-forme). On peut faire aveuglément tous les calculs juste en utilisant ces deux règles, en plus de la linéarité de d et ^, et l'alternance de ^.
J'aimerais bien avoir une interprétation géométrique de ^ (comme j'ai pour la différentielle), mais je crois pas que y'en ait qui aide à comprendre.