Forme bilinéaire symétrique

[Aispor]

Bonjours,
je suis bloqué sur la dernière partie de mon DM, elle me paraît assez complexe,
elle serait a priori indépendante du reste du devoir.

Excusez moi de ne pas avoir recopier le DM mais je n'ai toujours pas trouvé comment écrire les formules de maths aisément x)

Je l'ai scanné et mis en pièce jointe.
Pour info c'est un DM pour L2 maths-infos.
Et la partie où je suis bloqué est la partie II de l'exercice 2.

J'ai bien trouvé la matrice de l'application bilinéaire symétrique psi, qui est (phi(fi,fj)) 1<i,j<n

Je pensais utilisé:
"la matrice est positive si les déterminants des mineurs sont tous positifs ou nuls"
ou bien
"la matrice est positive si les valeurs propres sont toutes positives ou nulles"

mais je n'ai a montrer aucunes des 2 propriétés à causes des calculs qui me paraissent trop complexe.

Merci d'avance !


PS : je n'ai pas réussis a joindre le fichier en pdf, je l'ai donc mis sur internet -->

téléchargement : https://www.fichier-pdf.fr/timer.php?id=578074

aperçu : https://www.fichier-pdf.fr/2018/03/04/dm-algebre/

[Ben314]

Salut,
Tu cherche bien compliqué là où c'est tout simple : par bilinéarité de la fonction tu as :

Donc en particulier, si alors avec
Ce qui montre que :
(1) pour tout (intégrale d'une fonction positive).
(2) Vu que la fonction est continue (car les le sont) si et seulement si pour tout c'est à dire ssi (l'intégrale d'une fonction continue positive n'est nulle que si la fonction est nulle).

[Aispor]

Merci beaucoup Ben314
En effet j'étais partis sur les valeurs propre parce que le prof nous avait dit ça mais bon x)
Il a l'air difficile de faire plus efficace que ce tu proposes !

A bientôt !