comme vous le savez, le formalisme, poussé par des généralisations hâtives
conduit à un absurde drolâtique:
Théorème shadock: tout triangle comportant trois hypoténuses est équilatéral.
Dans la même veine, ayant remarqué que
i ) les triangles et les cercles ont
des définitions communes:
aire,périmètre,isobarycentre,angles inscrits.
ii) que le domaine plan délimité par un triangle ABC contient un disque
inscrit (centre I) et est contenu dans un disque circonscrit (centre O)
je propose le divertissement suivant (ça m'a bien occupé)
si le triangle était un cercle (ou même , si c'est un cercle selon une définition "généralisée"), où est son centre, quel est son rayon ?
voilà quelques éléments pour alimenter la discussion:
i) la formule rayon du cercle inscrit
redonne dans le cas du cercle
ii) j'ai cherché quels pouvaient être les "côtés" a,b,c d'un cercle
on a une formule pour
avec
et pour
je n'ai pas trouvé de formule sympa qui s'étende au cercle pour
Parce que évidemment , connaissant les fonctions symétriques
iii) par contre, on a le fait suivant pour les triangles
on passe des coordonnées barycentriques de I à celles de O en les multipliant
par (cosA,cosB,cosC) tandis que l'on passe de celles de I à celles de H en les multipliant par (1/cosA,1/cosB,1/cosC)
La transformation en coordonnées barycentriques
est bien définie et de ce point de vue
semble indiquer que le centre du triangle, quand il se fait passer pour un cercle doit être en rapport avec H.
iv) quand on dessine un triangle ABC et ses cercles inscrit et circonscrit,
le cerveau humain permet de dessiner une ovale qui "moyenne" les deux cercles
et "remplace" le triangle. Je me demande quels en sont les invariants ?
la mesure d'aire ou le bi-rapport qui est un invariant de perspective ?
à vous lire...
