DM fonctions trigo

[nathalie65]

Bonjour à tous les correcteurs!
Après un dédut d'année plutôt catastrophique, votre aide me serait des plus précieuse pour remonter mon niveau. Ce devoir me pose problème, j'ai beau essayé je n'arrive pas à résoudre l'exercice! Ce serait très gentil si vous pouviez me donner quelques pistes de réflexions vu que je bloque un peu partout!
Je vous remercie vraiment à l'avance de votre aide et vous souhaite une bonne soirée!
Encore merci!

1. On pose f(x)=sin^5(x)
a. Linéariser f(x) à l’aide des formules d’Euler et de la formule du binôme de Newton.
b. En déduire [0]integrale[/pi] f(x) dx.
c. Montrer que f(x)=sin x.(1-2cos^2(x)+cos^4(x)).
En déduire la primitive F de f nulle en 0 puis retrouver le résultat du b.

2. Soit n un entier naturel non nul, on pose f(indice n)(x)=sin2x + sin 4x + ... +sin 2nx.
a. Factoriser f(indice n) et en déduire ses racines.
Vérifier votre factorisation pour f(indice2)avec les formules de trigonométrie.
b. En déduire par dérivation une autre expression S(x)= [k=1]somme[/n]k.cos 2kx

Attention : Distinguer x = 0[pi] et x ± 0[pi]

3. On pose f(x)=sin 5x et Q(x)=16X^5 – 20X^3 + 5X.
a. Donner l’ensemble S des racines de f et donner son cardinal.
Donner S’=S inter ]-pi;pi], card S’ et le représenter sur le cercle trigonométrique.
Donner E= sin(S) et montrer que card E=5. Ordonner les éléments de E par ordre croissant.
b. A l’aide de la formule de Moivre, déterminer un polynôme P tel que pour tout x appartenant à R , f(x)=P(X) où X=sin 1.
Attention : un polynôme est une application de R dans R de la forme P(X)= a0 + a1X+a2X^2+...+an.X^n.
c. Donner une racine évidente de Q puis en posant Y=X^2, déterminer l’ensemble E’ des racines de Q en les ordonnant par ordre croissant.
d. Montrer que les éléments de E sont racines de Q, en déduire que E inclus E’ puis que E=E’.
e. En déduire la valeur exacte de sin(pi/5).
Vérifier ce résultat avec la calculatrice en en donnant une valeur approchée à 10puissance(-4) près.