chan79 a écrit:tu peux démontrer que c'est impossible ?
Non, et tu vas comprendre pourquoi.
Je reprends la notation
.
vérifie
,
.
À partir de là, tu peux démontrer que
,
. Une autre façon de voir c'est de dire que
est une application linéaire de
dans
vu comme
espace vectoriel.
Si tu admets l'axiome du choix, il existe une base
de
vu comme
(ce qu'on appelle une base de Hamel. Alors tu définis une application linéaire par l'image d'une base, par exemple
Tu obtiens ainsi une fonction
solution, puis en composant par un logarithme, une solution non triviale pour
.
Comme tu l'as dit plus haut,
n'est pas dérivable. Il est facile de voir qu'elle n'est pas de ce fait continue ni même (Lebesgue) mesurable sur un intervalle d'intérieur non vide.
Tout ceci dans le cadre de l'axiome du choix. Tu me diras, sans axiome du choix il est probablement impossible de définir le logarithme (je n'ai pas vérifié...)
amicalement,
e.v.