Fonctions symétriques élémentaires!

par **ika-ika** » 12 Nov 2011, 22:21

[FONT=Arial Black]Bonsoir a vous tous!
Je dois préparé mon cours avec ses exercices pour ce lundi sur les Fonctions symétriques élémentaires! et je ne comprend pas ce que c'est ni a quoi ça sert! :hein: et pour un premier exemple ils nous demande pour 3 scalaires, d'écrire les 3 f.s.e!
Merci d'avance :lol3: [/FONT]

par **ThomasM** » 12 Nov 2011, 23:54

Les fonctions symetriques elementaires sont souvent utilisées pour les "relations-coeficients".
Par exemple si tu prend x et y dans C, alors x et y sont les solutions du polynome de degres 2 : x^2-(x+y)*x+(xy) = x^2-sx+p (ici s represente la somme et p le produit de x et y).
Ces relations se generalise a tous n dans N( cad pour x1,x2,....,xn)
Pour le cas de n=3, celui qui t'interesse, tu trouve quoi?
essaie de prendre x, y et z, et regarde de quel polynome x, y et z sont racines, developpe, et tu trouvera le resultat !

par **ika-ika** » 13 Nov 2011, 00:27

Merci ThomasM :lol3: !!
alors pour n=3 j'ai fais p=a(X-x1)(X-x2)(X-x3) après j'ai développé et je trouve:

p= aX^3 - aX^2(x1+x2+x3) - aX(x1x2+x2x3+x1x3+x1x2x3)
P=aX^3 -(aX^2)*S - aX(P1+P2+P3+P4) !!!!

je ne suis pas du tout sur que on peut écrire le produit sur cette forme!

mais par contre est ce que cela est la réponse de " pour 3 scalaires, d'écrire les 3 f.s.e" ?? car les "relations-coeficients" viennent après dans mon cours !

par **ThomasM** » 13 Nov 2011, 10:12

Ok, c'est tres bien ce que tu as fais.
Tu trouve donc tes relations coeficients avec "p= aX^3 - aX^2(x1+x2+x3) - aX(x1x2+x2x3+x1x3+x1x2x3)" (ta 2eme ligne ne te sert a rien)
Ainsi tes f.s.e sont les suivantes :
sigma1 : (x1,x2,x3)------->x1+x2+x3
sigma2 : (x1,x2,x3)------->x1x2+x1x3+x2x3
sigma3 : (x1,x2,x3)------->x1x2x3
(en generale les f.s.e sont noté petit sigma, et si tu remarque bien les indices 1, 2 et 3 de sigma represente le nbr de racine qu'on multiplie entre elle, cad pour sigma2 ont fait le produit de 2 racines, pour sigma 3 le produit de 3 racines...)

par **ika-ika** » 13 Nov 2011, 14:49

merci bien thomas! :lol3: est ce que vous pouvez juste me dire comment on peut trouver la valeur de la somme et le produit des racines: -5X^3 + 3X^2 +2X +1 !!!

par **ThomasM** » 13 Nov 2011, 14:54

ben la tu appliques exactement ce que tu as fait plus haut, cad tu dois resoudre un systeme d'equations a 3 inconnues...
c bon?

par **ika-ika** » 13 Nov 2011, 15:00

je dois la résoudre pour P=0 ??? et trouver x1 x2 et x3 ??

par **ika-ika** » 13 Nov 2011, 15:06

En plus j'ai essayé de faire la même chose de ce que j'avais fais avant avec le polynome
p= 3X^2 - 2X +1 , sauf que la on a delta<0 donc on ne peut pas l'écrire comme avant !!!! :hein: je suis pérdu!!!!

par **ThomasM** » 13 Nov 2011, 15:30

non tu resoud le systeme :
5(x1+x2+x3) = -3
5(x1x2+x2x3+x1x3)=2
5x1x2x3=-1
et tu trouvera les racines de ton polynome, c'est bien ce que tu veux non?

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