Fonctions symétriques élémentaires d'un polynôme..

par **d0n** » 16 Fév 2007, 19:34

Bonjour à toutes et à tous !
Voici l'énoncé d'un exercice que j'ai à chercher :

Soit "lambda" un complexe, et P= X^3 - 6X² +11X - lambda. Soient a,b et c ses racines. Calculer l'expression (a+b-2)(a+c-2)(b+c-2) en fonction de "sigma 1", "sigma 2" et "sigma 3" (qui sont ses fonctions symétriques élémentaires associées)

Avec sigma 1 = a+b+c sigma 2 = ab+ac+bc et sigma 3 = abc, j'ai cherché à exprimer l'expression. J'ai (naïvement ?) développé les termes entre eux pour aboutir à un résultat. Mais je m'interroge.. N'y avait-il pas plus simple pour trouver la réponse, sans faire tout ces calculs "horribles" ? Ca me parait louche.. J'ai cherché une autre méthode, sans trouver.. Auriez-vous une petite piste s'il vous plait ? Merci beaucoup..

La question suivante : quelle serait une condition nécessaire et suffisante sur lambda pour que P admette deux racines de somme égale à 2 ?
J'ai pensé me reservir de l'expression du dessus, mais je n'ai pas abouti..

par **fahr451** » 16 Fév 2007, 19:48

bonsoir lambda = 12

sans utiliser la première question (non faite)
sigma 1 = 6 = 2 + c
sigma 2 = 11 = 2c +ab
sigma 3 = lambda= abc

donc c = 4 et ab = 3 et lambda = 12

par **Imod** » 16 Fév 2007, 20:09

Les calculs ne sont pas si compliqués :

.

Sauf erreur .

Imod

par **d0n** » 16 Fév 2007, 22:43

Bonsoir, et merci pour vos réponses !
Cependant, je ne saisis pas tout ce que vous avez écrit.. :

Fahr51, je n'arrive pas à voir d'où vos tirez les relations
sigma 1 = 2 + c
sigma 2 = 2c +ab
sigma 3 = abc ..
Cela signifierait que 2 = a+b, que 2c = ac + bc (découlerait donc de la première) ? Je n'arrive pas à voir comment..

Imod, comment parvenez vous à passer de la ppremière à la seconde ligne ? J'ai vraiment du mal à saisir.. Désolé..

Encore merci à vous !

par **fahr451** » 17 Fév 2007, 00:33

en prenant a et b les deux racines de somme deux

a+b = 2

or sigma 1 = a+b+c = 2 +c

sigma 2 = ac+ bc +ab = c(a+b)+ab= 2c + ab

sigma 3 = abc

par **Imod** » 17 Fév 2007, 01:09

Imod a écrit:Les calculs ne sont pas si compliqués :

.

Sauf erreur .

Imod

Il s'agit d'un développement par paquets :

[(a+b+c)-(2+c)][(a+b+c)-(2+b)][(a+b+c)-((2+a)] = ...

D'ailleurs , tout cela peut s'écrire bien plus simplement avec des

mais j'ai un peu oublié , désolé .

Imod

par **d0n** » 17 Fév 2007, 10:58

D'accord, je vois ! Merci à vous deux !

Fonctions symétriques élémentaires d'un polynôme..

Fonctions symétriques élémentaires d'un polynôme..

Qui est en ligne