Fonctions réciproques

[chris026]

Bonjour, je souhaiterais isoler x dans la fonction
f(x) : {2x}/{1+x^2}=y
je n'arrive pas à isoler ce fameux x afin d'obtenir le fonction réciproque de celle-ci, si une âme charitable pourrais me venir en aide en me détaillant les étapes.

Merci d'avance.

[Lostounet]

Salut,
{2x}/{1+x^2}=y

Équivaut à
(1+x^2)y=2x

Soit yx^2 -2x +y = 0

On peut voir ce polynôme comme un polynôme de degré 2 en x avec coefficients: a=y
b=-2
c=y
Donc le discriminant delta vaut b^2-4ac=4-y^2

Si ce discriminant est positif, x=(-b -+racine(delta))/2a

Ce qui permet d'isoler ton x.

[chris026]

Merci beaucoup ! mais j'ai trouvé f(2)=4/5

j'ai donc espéré trouver 2 en faisant
(2-racine(4-(4/5)^2)/(2*(4/5)) , mais cela m'as donné un résultat totalement différent de 2. comment se fait-il ?

[chris026]

ah non merci j'ai compris ou était ma faute de compréhension !

[mathelot]

, si une âme charitable pouvait me venir en aide en me détaillant les étapes.

Merci d'avance.

[Lostounet]

ah non merci j'ai compris ou était ma faute de compréhension !

Je ne comprends pas ce que tu fais avec f(2) ....?

Tu voulais une formule générale donnant x en fonction de y non ?

[chris026]

c’est à dire que, si f(x)=y
alors f^(-1)(y)=x
c’est ça que je voulais dire, donc par exemple f(2)= 4/5
mais à premier abord f^(-1)(4/5) n’etait pas égal à 2, mais finalement si, j’ai seulement fait une faute, toutes mes excuses !

[Lostounet]

Justement,
Si tu veux résoudre {2x}/{1+x^2}=4/5 tu as une équation du second degré en x donc deux solutions potentielles ! Qui sont x=2 et x=1/2

[chris026]

je comprends mieux, merci mille fois, la technique des polynômes de second degré m’etais sortie de la tete!

[chan79]

salut
Si -1<=y<=1, la formule de l'énoncé peut faire penser à y=sin(2u) avec x=tan(u)

L'une des valeurs de x est :
x=tan(0.5*arcsin(y))