Fonctions polynomiales

[houssamhoussni]

soit f une fonction dérivable sur R tel qqsoit (a,b) dans R*R: f(a)-f(b)=(a-b)*f'((a+b)/2)
mq f est une fonction polynomiale de degré au plus égale à 2

[Manny06]

N'y a-t-il pas d'autre hypothèse sur f?

[aviateur]

Bonjour C'est facile de voir que la fonction h: h(x)= f(x)-(xf'(0)+f(0)) vérifie aussi les hypothèses et que h(0)=h'(0)=0.
Avec b=-a, on a h(a)-h(-a)=2a h'(0)=0. h est paire.
Avec b=0 , on a h(a)= a h'(a/2).
Avec a->2a et b=-a, on a h(2a)-h(-a)=3a h'(a/2)=h(2a)-h(a)
D'où 3h(a)=h(2a)-h(a), i.e h(2a)=4h(a)
Avec a-->2a et b=0 on a h(2a)=2a h'(a)=4h(a).
Ainsi h'(a)=2/ah(a), a>0 et c'est une équation différentielle vérifiée par h et facile à résoudre dont la solution générale est h(a)= cste a^2. La fin est facile à terminer