Fonctions monstres !

[Arkhnor]

Bonjour.

Au passage, il me semble qu'une fonction continue sur un compact de R^n est nécessairement dérivable presque partout, non ?

Il ne faudrait pas rajouter convexe comme hypothèse ?

[ffpower]

ou lipchitzienne..

[quinto]

Il faut certainement ajouter une condition puisque c'est faux, mais il me semble que cette condition est très faible.
Je vais aller fouiller quand j'aurais le temps.

Peut être quelque chose du genre:
Il existe une subdivision s du compact telle que sur chaque s_i la fonction soit monotone.
Ca aurait du sens et c'est justement ce qui manque à la fonction de Weiestrass.

[quinto]

A noter que ces fonctions là sont elles aussi les fonctions les moins "nombreuses" dans l'ensemble des fonctions continues puisque toute fonction continue est limite uniforme de suite de fonctions f_n qui ne sont jamais monotone.

[Jonny]

Salut
Je me souviens qu'on a parlé un peu de cette fonction cette année, au moment où on a vu que Q et R\Q sont denses dans R, je crois.

Le prof a tracé deux droites y=0 et y=x, et si ma mémoire ne me trompe pas, il nous a tracé y=0 plus "épaisse", pour mettre en évidence le fait qu'il y a plus d'irrationnels que de rationnels. Ce qui entre en contradiction directe avec mon interprétation de "Q et R\Q sont denses dans R".

Si vous avez des explications/corrections, je suis intéressé.

PS : Peut-être un peu HS, mais puisqu'on parle de cette fonction, j''ai pensé que c'était le bon moment.

[Skullkid]

Salut, en effet et sont denses dans . Ça veut dire qu'où que tu te places dans , il y aura toujours un rationnel et un irrationnel tout près de toi (aussi près que tu veux). C'est un résultat qui concerne la structure de ces ensembles, et pas leur "taille".

Concernant leur taille, il y a en effet plus d'irrationnels que de rationnels, en ce sens que est en bijection avec (aussi contre-intuitif que ça puisse paraître), alors que ne l'est pas.

[busard_des_roseaux]

bonsoir,

f est définie par:

si irréductible et rationnel
sinon

elle est continue sur R\Q et discontinue sur Q.

[quinto]

Et elle est Riemann intégrable, ce qui déroute beaucoup d'étudiants qui pensent que c'est le même type de fonction que la fonction de Dirichlet.

Question inverse:
Existe t'il une fonction continue uniquement sur Q ? Si oui exemple, sinon le montrer ...

[ffpower]

Il faut certainement ajouter une condition puisque c'est faux, mais il me semble que cette condition est très faible.
Je vais aller fouiller quand j'aurais le temps.

Peut être quelque chose du genre:
Il existe une subdivision s du compact telle que sur chaque s_i la fonction soit monotone.
Ca aurait du sens et c'est justement ce qui manque à la fonction de Weiestrass.

oui la ca marche,car une fonction monotone est derivable p-p

Existe t'il une fonction continue uniquement sur Q ? Si oui exemple, sinon le montrer ...

la réponse est non,car l ensemble des points de continuité d une fonction est un G_delta(intersection dénombrable d ouverts),ce qui n'est pas le cas de Q

[quinto]

Effectivement, c'est d'ailleurs la démonstration que je connaissais.
Il faut justifier que Q ne soit pas un G_delta mais c'est immédiat avec le théorème de Baire.