Fonctions monstres !

par **uztop** » 30 Juin 2009, 17:19

il n'est pas complet, mais bon faut que je vérifie, c'est vrai que ça n'a pas l'air d'empêcher de définir la continuité.

par **Skullkid** » 30 Juin 2009, 17:30

Y a juste besoin d'avoir une topologie sur ton ensemble, qu'il soit complet ou non n'influe en rien.

par **trocho** » 30 Juin 2009, 19:19

C'est un topic "lycée", ça?

par **uztop** » 30 Juin 2009, 19:28

Tim est effectivement au lycée, mais c'est vrai que c'est plutôt niveau sup comme sujet :)

par **Clembou** » 30 Juin 2009, 19:32

trocho a écrit:C'est un topic "lycée", ça?

Comme là on parle un peu de topologie, je déplace le sujet dans Supérieur

par **Timothé Lefebvre** » 30 Juin 2009, 21:16

T'inquiète Clément ;)
Intéressant tout ça.

par **Timothé Lefebvre** » 30 Juin 2009, 21:33

uztop a écrit:Tim est effectivement au lycée, mais c'est vrai que c'est plutôt niveau sup comme sujet

La continuité, la dérivabilité et les fonctions monstres on (commence à) les voit au lycée

par **Skullkid** » 30 Juin 2009, 22:55

Hum, la convergence uniforme d'une série de fonctions je suis pas sûr que ce soit un concept très lycée :p

Dans mes souvenirs, les fonctions les plus compliquées vues au lycée sont celles définies par morceaux avec au maximum 2 ou 3 "points à problème" ou alors celles qui font intervenir la partie entière... Enfin j'étais pas dans un de ces lycées qui s'avancent sur le programme de supérieur.

par **quinto** » 01 Juil 2009, 03:17

T-L a écrit:Il pose ceci : considérons une suite de fonctions continues et dérivables sur un intervalle [a,b] ; on note f(x) la fonction somme des termes de cette suite, et :

Que donne la dérivée de cette fonction ?
Quelles sont les conditions pour que cette suite existe bien mais ne soit jamais dérivable sur un quelconque point de [a,b] ?

Je ne suis pas sur de comprendre...
Ici Un est relativement quelconque, tu ne trouveras rien d'aussi général.

Ensuite, rien n'oblige d'avoir convergence uniforme, ce n'est pas parce qu'une propriété est conservée qu'il doit y avoir convergence uniforme.

Dans un sens la convergence uniforme représente bien la continuité et mal la dérivabilité. Si tu veux une norme qui représente bien la dérivabilité tu peux prendre la norme définie par
||f|| = sup |f| + sup |f '|
si tu veux une norme qui représente bien la "seconde dérivabilité", tu ajoutes sup |f ''| et ainsi de suite.

Je ne vois pas vraiment ce que tu demandes réellement dans ce topic, cela dit si tu cherches une fonction qui serait continue mais non dérivable, ce n'est pas tellement difficile à construire.
On peut même "facilement" construire des fonctions continues, dérivables presque partout, à dérivée nulle et strictement croissante. Je trouve ca amusant ...

par **Timothé Lefebvre** » 01 Juil 2009, 06:34

Salut quinto, merci de ton intervention !

Effectivement je mène ces recherches uniquement dans le but de me distraire.

Le fait que

soit trop généraliste vient justement du fait que je tente de trouver toutes les conditions nécessaires, tout ce qu'il faut qu'une fonction respecte pour qu'elle soit continue sur un intervalle [a,b] mais jamais dérivables.
La forme que je cite dans mon premier message n'est certainement pas la seule qui existe, n'est-ce pas ?

Merci bien

par **Zavonen** » 01 Juil 2009, 07:01

Timothé Lefebvre a écrit:
Un exemple très simple :

Si on trace cette fonction, on obtiendra visiblement une fonction linéaire, or en réalité celle-ci sera composée d'une infinité de petits segments,

Encore pire que cela, le graphe ne contient AUCUN segment (même petit), il est constitué de points isolés, soit sur la droite y=x, soit sur l'axe des abscisses.

par **Timothé Lefebvre** » 01 Juil 2009, 07:06

Rien ne les relie entre eux, d'où la discontinuité et le terme de nuage de points. Ok merci !

par **Zavonen** » 01 Juil 2009, 09:38

Oui, et la représentation graphique de telles fonctions (fort justement qualifiées par toi de 'monstres' au sens éthymologique du terme) est totalement impossible, car nous ne savons pas 'tracer' un point, nous ne savons que faire des 'pâtés'.
Cependant (force des mathématiques) notre imagination nous permet de sentir ce que serait une telle représentation.
Maintenant l'exemple que tu donnes, pour aussi pathologique qu'il soit, est considéré comme bien ordinaire dans certaines branches des mathématiques (par exemple en théorie de l'intégration version Lebesgue). La fonction que tu décris n'est pas considérée comme vraiment différente de y=x, et son intégrale de 0 à 1 serait égale à 1/2, car les discontinuités forment un ensemble dénombrable (en bijection avec N) donc négligeable du point de vue de l'intégration.
Un monstre encore plus monstre serait une fonction dont les discontinuités auraient la puissance du continu.
L'exemple classique est la fonction caractéristique de l'ensemble triadique de Cantor.
Si cela t'intéresse voilà une adresse où les choses ont présentées avec simplicité et pédagogie.
Site de S. Mehl (Chronomath)

par **quinto** » 01 Juil 2009, 14:22

Bonjour,

Timothé Lefebvre a écrit:Le fait que soit trop généraliste vient justement du fait que je tente de trouver toutes les conditions nécessaires, tout ce qu'il faut qu'une fonction respecte pour qu'elle soit continue sur un intervalle [a,b] mais jamais dérivables.

tu ne trouveras pas, parce que c'est trop général. Tu peux modifier énormément un Un sans que ca modifie vraiment la limite.

Pourquoi cherches tu une représentation en série ?
Je pense que ca pose plus de problème que ca n'en résoud ...

par **abcd22** » 01 Juil 2009, 14:29

Bonjour,

Zavonen a écrit:Maintenant l'exemple que tu donnes, pour aussi pathologique qu'il soit, est considéré comme bien ordinaire dans certaines branches des mathématiques (par exemple en théorie de l'intégration version Lebesgue). La fonction que tu décris n'est pas considérée comme vraiment différente de y=x, et son intégrale de 0 à 1 serait égale à 1/2, car les discontinuités forment un ensemble dénombrable (en bijection avec N) donc négligeable du point de vue de l'intégration.

L'intégrale de Lebesgue est plutôt 0 car la fonction est nulle presque partout.

par **quinto** » 01 Juil 2009, 14:54

Au passage, il me semble qu'une fonction continue sur un compact de R^n est nécessairement dérivable presque partout, non ?

Donc il faudrait peut être changer un peu ce que tu cherches.

par **Zavonen** » 01 Juil 2009, 15:04

L'intégrale de Lebesgue est plutôt 0 car la fonction est nulle presque partout.

Oui c'est vrai j'avais inversé la définition, mais ça ne change rien sur le fond sinon que comme tu le dis justement l'intégrale est nulle et la fonction est considéré comme nulle à un ensemble 'négligeable' près.

par **muse** » 01 Juil 2009, 17:51

quinto a écrit:Au passage, il me semble qu'une fonction continue sur un compact de R^n est nécessairement dérivable presque partout, non ?

Donc il faudrait peut être changer un peu ce que tu cherches.

L'exemple donner par tim dans son premier poste donen une fonction continue et non dérivable non ?

par **quinto** » 01 Juil 2009, 18:27

Il y'a un truc qui cloche, il faut que je reflechisse un peu à ce que j'ai dit.

par **Timothé Lefebvre** » 01 Juil 2009, 19:56

muse a écrit:L'exemple donner par tim dans son premier poste donen une fonction continue et non dérivable non ?

Ah ^^ Alors je me suis pas autant raté que ça !

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