Certains d'entre vous connaissent sans doute les fonctions que l'on appelle sympathiquement "monstres" alors qu'elles ne le sont pas du tout.
Je m'explique : au lycée, et plus particulièrement en classe de Terminale, les profs ont souvent tendance à simplifier la notion de continuité d'une fonction pour leurs élèves en leur expliquant qu'une fonction continue a une représentation graphique dont la particularité est de pouvoir se tracer sans lever le stylo, en un seul trait.
J'ai déjà lu quelque part, d'un prof de maths, que cette "propriété" était suffisante pour prouver la continuité d'une fonction !!
Aberration me direz-vous, et vous auriez raison, car les fonctions monstres dérogent à la "règle".
Un exemple très simple :
Si on trace cette fonction, on obtiendra visiblement une fonction linéaire, or en réalité celle-ci sera composée d'une infinité de petits segments, elle est donc bien discontinue.
Il ne faut pas se fier au fait que
et 
\ soient denses dans .Weierstrass s'est en premier intéressé à ces fonctions pour nous livrer (en 1861) une première fonction continue dans son domaine de définition mais n'ayant de dérivée nulle part, voilà ce qu'il nous donne :
On remarquera que si
, f(x) converge uniformément ; on pourra ainsi déterminer un encadrement de la fonction de Weierstrass tel que :
Si on veut s'amuser on peut étudier la majo et la mino des suites définies à partir de cette fonction, mais bon.
Après ces travaux, un autre mathématicien, Dini, a continué les recherches.
Il pose ceci : considérons
une suite de fonctions continues et dérivables sur un intervalle [a,b] ; on note f(x) la fonction somme des termes de cette suite, et :
Que donne la dérivée de cette fonction ?
Quelles sont les conditions pour que cette suite existe bien mais ne soit jamais dérivable sur un quelconque point de [a,b] ?
Voilà le résultat de mes recherches, j'espère que c'est assez bien exprimé pour que vous puissiez me comprendre !
See you
Tim