Fonctions holomorphes et revêtements (topologie algébrique)

[EmileJensen]

Bonjour,

Je travaille sur "le groupe fondamental et revêtement" et je suis tombé sur cet exercice:
Si est une fonction holomorphe et propre (l'image réciproque d'un compact est compact) et non constante.
Montrer que les fibres de sont finies.
Montrer que est un revêtement.

Pour la première question je propose de dire que pour , l'ensemble est compact (car la fonction est propre et est séparé) et discret (principe des zéros isolés) donc finie.
Pour la deuxième question je sais qu'un homéomorphisme local propre est un revêtement, donc il me faut démontrer que est un homéomorphisme local dans , mais j'y arrive pas.

Merci d'avance pour toute aide.

[EmileJensen]

Il me semble que j'ai trouvé la réponse, en disant que par le théorème d'inversion locale des fonctions holomorphes, est un biholomorphisme (en particulier un homéomorphisme) local, d'où le résultat.